今日の、定理。(計量テンソル)

テンソルっつってもたかだか行列じゃんか。よかったなお前ら3次元人で。具体的に平面に書けるぞ！

計量テンソルを三角行列に定義すべきか、山分けして対称行列に定義すべきか
って思ったけど、三角行列の固有値は対称行列以上に簡単！
エルミートとか言ってないでまず三角行列でおｋ←結論。


というわけで今日の定理。
三角行列の固有値λはすべて対角成分である。(三角行列の行列式は対角成分の積である(三角行列のトレースは対角成分の和である：何当たり前のこといってだ！))
あ

計量テンソルを例にやってみる。


ほんまや！なんてこった！歪み要素出番ナシ！



ちなみに固有時(時空間隔)ds^2はこんな風にブラケット表記することが可能！
ds^2=<x|gmn|x>

4列の行ベクトル「ブラ」は<x|=(ct,x,y,z)で、「ケット」|x>はその（共役複素？）転置である4行の列ベクトル。
平らなミンコフスキー時空だと-g00=g11=g22=g33=1で、それ以外が全部ゼロなので(|gmn|=δmn：クロネッカーのデルタ)
ds^2=-(cdt)^2+dx^2+dy^2+dz^2になるよ！
g00だけにマイナスがついているからﾐﾝｺﾞｽﾌｷｰ時空が楕円ではなく双曲線なんだね！4番目の次元は異常。

双曲線関数がどうして双曲線関数と呼ばれているかは、三角関数で楕円を描いた要領で
双曲線(x/a)^2-(y/b)^2=±1のxとyをθで媒介変数表示してx=±acoshθ、y=±bsinhθにすればいいよ！(複合同順じゃねーよ！)
これをa=b=1にして45度傾けたら反比例の式xy=±1になるから数学ってのはどこからやぶヘビが出てくるかわかんないね！





おっぱいはホントよう歪むですよ！ブラcats！

にほんブログ村