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20080511～
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
前回までのあらすじ
このように、量子力学を微分ナシの代数または行列の掛け算とか足し算引き算とか(割り算disってんのかー！)で 今示しましたように、角運動量のz成分が量子化されていることを代数計算から導き出すことができました。 実際には全角運動量が一定の場合には、z成分の値には上限と下限があるはずで、 それをたとえば、最大値を このように上限と下限があった場合、角運動量のz成分は、量子数mを用いて エッチbarの2m倍個でなければなりません。 角運動量のz成分自体は量子化されるのでħの整数となりますが mが整数でなければならないという制約はなく 2mが整数であればいいので、mは半整数であることも許容されます。 半整数の量子数なんて数学の世界の思考の産物だろうといわれますと意外とそうでもありませんで 何を意味するのかといいますと、 実は粒子自身の持っている角運動量(あえていうなら公転ではなく自転)に相当し、 たとえば電子や陽子などの「パウリの排他律」に従う「フェルミ粒子」というものは半整数、 光子などの「パウリの排他律」に従わない「ボース粒子」は整数の量子数を持っているとされています。 このような量子数のことを「スピン」といいます。 スピンが整数の場合は球面調和関数で具体的に表現できたのですが 半整数の場合は具体的に書き下すことができず、中傷的な企業といえます。 スピン＋１／２の場合は上向きスピン|↑>、－１／２の場合は下向きスピン|↓>と記述することがよくあります。 この状態を2行の列ベクトルで このように書くこともよくあります。 |↓>を|↑>にageたり、|↑>を|↓>にsageたりする昇降演算子 ラブプラスやラブマイナスは、2行2列の行列で このように書くことができます。 ＝＝＝＝＝＝＝ あらすじ終わり。 ラブｓエックス、ラブワイｆという演算子は、あらすじでは言っていませんが先週言いましたように で定義されていますので ①＋②を2で割って ①－②を2iで割って がそれぞれ計算でき また、 カクーンドーリョーであるラブのx、y、z成分の間には次の の1つ目の式を用いて 行列の掛け算には一般にカップリング和平が成立しませんので この交換関係、掛け算の順番を入れ替えて差し引きは必ずしもゼロにはならず ちなみに、ラブのx、y、z成分はしばしばパウリ行列と呼ばれており パウリ行列はエルミート行列でありながらユニタリ行列でもあります。 単位行列[[1,0],[0,1]]も合わせた4人組の行列を合わせてパウリ行列と呼ぶこともあります。 エルミート行列というのは何かといいますとエルミート共役をとっても元の行列と同じな行列のことを指し A†=A エルミート共役というのは複素共役(虚部の符号を反転する)を取って転置(行と列を入れ替える)する操作を指しますので エルミート行列の具体例はこんなんすわ たとえばラブyの複素共役は [[0,i],[-i,0]]ですが、その転置を取るとラブyそのものに戻ります。 エルミート共役な行列は、行列の固有値が必ず実数であるという性質を持っています。 また、ユニタリ行列は、 元の行列にそのエルミート共役を取った行列を掛け算すると、 順序によらず単位行列になる行列のことを指します。 つまりあるユニタリ行列の逆行列が元の行列のエルミート共役であるといえます。 具体的には、任意の行列を対角化させる際に求めた固有値を元に固有ベクトルを求めてから対角化すると思いますが その際の規格化された固有ベクトルである縦ベクトルを横に並べたのがユニタリ行列です。 エクセルで具体的にユニタリの例を見たければそうですね matrixアドインがネットのどっかにあるのでそれ入れて、固有値・固有ベクトルを算出する関数使えば 出ないこともないです。 ただ、そのアドインの固有値・固有ベクトル算出用関数に関していえば 対象の行列が対称行列限定なので注意が必要ですね。 エルミート行列なら固有値は実数にはなるんですが エルミート行列そのものが複素数の範囲まで広がってるため、元の行列を実数にしたければ対称行列にせざるをえないんですよ。 5行5列のエルミート(対称)とユニタリ(固有ベクトルズ)だったらたとえばこんな感じです。 また、パウリ行列と単位行列を合わせた4人組は4次元空間のそれぞれ4軸の単位ベクトルを表したものであるとされ 詳しくはwebのような性質があり、クォータニオン(四元豚、カリウムイオン豚、K中間子豚)とも関係があるらしいです。 z成分だけ浮いていると感じたあなたはいい質問だと思っています 回転運動したときの軸がz成分だ！勝ったやつが正義だと強いられているんだ！ と思えばそんなに違和感ないかと思います。  にほんブログ村
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