未定係数法を「重力によるバネの自然長の変化」として具体的にイメージする

色々あって延び延びになってしまいましたが、1月2日の続きです。


非同次微分方程式の解き方を、「バネ振り子の重力による自然長の変化」でイメージしてみる続き、始めます。



このようなバネ振り子、横向きなら重力の影響はなく、摩擦や抵抗なども無視しますと


運動方程式は
mx''=-kx　(m：質量、k：バネ定数、x：変位、ちょんちょん1回当たり1階微分)
になりますよね。この式は同次方程式なので、特性方程式を作って素直に解けます。

基本的な微分方程式は、微分したところで形がほとんど変わらないってところから始まるので
解きたい関数を何階やっても変わらない指数関数と置いてみるのが基礎の基礎です。

x=exp(wt)とかって置くわけです。
このxを微分方程式にぶち込むと、expがバッサリ消えてくれるので
mw^2=-kとかいうwについての高次方程式になります。この方程式を特性方程式と呼びます。

ところがこのwを求めようとするとw=±√(-k/m)とかいう純虚数になるので
iw=±i√(k/m)とおきなおして
x=exp(±iwt)という2つの指数関数を重ね合わせるとより一般的な解になるだろ的な意味で
x=Cexp(iwt)+Dexp(-iwt)とかいうのを一般解と呼びます。
ちなみに初期条件や境界条件などを与えてCやDに具体的な値をぶっこんじゃった解を特殊解と呼びます。

ただ、このままだと一般解が複素の領域でさまよいそうなので
量子力学以外での物理で複素はちょっといただけません。
そこでxが常に実数になるように、オイラーの公式を使ってCとDを調整すると
x=Acoswt+Bsinwtが得られます。



しかし、このようにバネを縦にぶら下げますと、下方向に重力があるせいで運動方程式が変わってきます。


運動方程式は
mx''=-kx-mgとなり、これは単純ですがすでに同次方程式の域を超えているのです。
しかも2階の微分方程式なので、変数分離して解くといったチートができません。

そこで
x''+k/m*x=-gの右辺-gが付け加わった非同次方程式の解を同次の一般解に付け足してやるということをします。

これを求める方法の1つが未定係数法なのです。

先の同次方程式で得た解の関数x=Acoswt+Bsinwtを流用します。


上の表によると、
特性方程式の解である±iwが右辺の指数関数の肩(0乗)と一致しないので、
上から1つ目(0次多項式-g×exp(0t))を参照して非同次解x=-gとおきます。Aは未知数です。
この非同次解を再度微分方程式にぶち込んで

(-Ag)''+k/m*(-Ag)=-g
になるので、A=m/k=1/w^2であることがわかりましたねわかります。


そこで、非同次解x=-g/w^2を一般解に付け足して
x=Acoswt+Bsinwt-g/w^2
とすると、ようやく縦に揺らしたおっパネ振り子の運動方程式が解けることになります。

これが何を意味しているのかというと
バネの固有角振動数の2乗に反比例した分だけ自然長が下に伸びていることを意味しています。
おっぱいを見て鼻の下が伸びている状況に相当します。揺れが激しいとあんまり伸びないみたいですね。ちょっと想像と違いますね。しかし僕は鼻の下が伸びている状況をリアルで見たことがありません。伸びるんですかアレ？


もし初期条件を時間t=0で初期位置x=0、初速度x'=v0とすると
x=Acos0+Bsin0-g/w^2=0からA=g/w^2
x'=-wAsin0+wBcos0=v0からB=v0/wが得られるので
x=g/w^2*coswt+v0/w*coswt-g/w^2
=g/w^2*(coswt+wv0/gcoswt-1)という特殊解が得られます。


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