アナログとデジタル、どちらがプラスか

デジタル×デジタル＝アナログな量子コンピュータの例を見るとデジタルがマイナスでアナログがプラスのように思える。


という冗談はおいといて、
僕は複素数の虚軸と実軸は対等なのかどうなのかずっと違和感を抱えていた。
やはり対等ではなかったようで、
実数を２乗すると実数のままだが、虚数を２乗しても虚数に戻らず実数になってしまう。


しかしよく考えてみるとそもそも実数のプラスとマイナスすら対等ではなく
マイナス同士の積がプラスになるからこそ、虚数という概念が生まれたのだということに気がついた。


では、ベクトルと複素数との違いはなんなんだろうか。

ベクトルは大きさと向きを持つが
約束次第ではその大きさを「常に正の数」とすることができる。

つまり、ベクトル同士の積を２種類抱え込むことによって、ベクトルの大きさ自体は次元がいくつあろうと対等を保てるのではないかと考えられるような気がする。
たとえば８次元空間のベクトルv=(v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8)があったとして
v1～v8はすべて対等なのだ。

これに対し、複素数を拡張した８元数には８つの元同士に対等な関係は築けない。実数は１つだけで、残りはすべて性質の異なる虚数になる。


にほんブログ村