トンネル障壁の高さが低いトンネル効果への拡張

まず訂正があります。
Fの分子に2ikk1と書いてありますが、正しくは2kk1でした。


それでですね、入社粒子のエネルギーがポテンシャルの高さよりも高かった場合の解析解なんですけどね
思い出したんですよ。
k1をik1に置き換えて最初の行列方程式から計算することなくて

この結果のk1をik1に置き換えるだけでよかったんです。

昨日はびっくりドンキーで、散々計算してました。
無駄時間を過ごした気分ですが、とても居心地がよかったのでまんざらでもありませんでした。＾＾




正しくはこういうことなんですが、
ここで、k1をik1に置き換えてみますと、以下のようになります。

よく見ると、双曲線関数が全部三角関数に置き換えられていることが分かるかと思います。
こうすることでk1<kの状態にも拡張することができるようになりましたので
ようやくk1→0の極限を計算することができます。

しかし、k1=0にすると、分母がゼロになってしまうため
不要な項を消して整理してから、分母分子をk1で割ってみましょう。
するとこのようになります。

ここで、sink1b/k1のk1をゼロにしてしまうと、一見不定のように見えるのですが
これはsinc関数と言ってsincx=sinx/xのx→0で、sincx=1になることが知られています。

ためしにロピタルの定理を使ってみるとわかるかと思います。



結果、以下のようになります

昨日もびっくりドンキーの中で計算していて、奇妙に思っていたのですが
この式が自由粒子の解になるにはk1=0(k1<<k)の条件だけではなく
2>>kbの条件も必要なようで
そうすると晴れて

反射波0、透過波1の自由粒子の解が得られるようです。

トンネル効果の波動関数←→伝達関数

x軸←→f軸

ボード線図
ナイキスト線図
ニコルス線図



同じことヘキサボナッチ数列でもやりました。反省してまーすｗｗｗ

1次元トンネル効果+複素数ビューアー3D～リベンジ～

大変充実した時間を過ごさせてもらいました！
時間感覚ぐっちゃぐちゃです！！


pixivのほうにも上げたので、一時停止して見たかったりしたらそちらで。
こっちは昔からDL用です。まあ、ほしいという方がいればですが＾＾；

やけに一日が長いなと思ったらこういう充実したことをやっているからですよ！
じゃあこういうことやってない日は何やってるってたいていは寝てますよ！
そんなに体力ないもん！年齢からくるものだもん！
それじゃなかったらこんな楽しい時間が長く続いて、一日が短くなくて逆に長くなったりするわけないじゃん！(血涙)

トンネル効果フィッティング備忘録

拡大縮小だろうが回転だろうが、一括で複素数割る複素数でやってしまって、
その算出された複素数の平均値を取り、
ボード線図やナイキスト線図の代わりとする。
自信があればな！！！


誤差の理論を複素数に拡張したい需要なんてほとんどないだろうけど
あるとしたら、平均値は複素数で、標準偏差や残差なんかは実数なんじゃないかとふと思った
まあ、Excelには案の定imaverageないんですけどね
IMSUM(A1:A100)がちゃんと動いてよかった

|平均値-サンプル値|^2を全部足す。これは実数でいい。たぶん





Ψ：算出した波動関数
An=imdiv(Ψ解析(複素数),Ψ数値(複素数))
こいつらを
avg=imsum(An)/counta(An)


Bn=abs(imsub(avg,An))^2

sqrt(sum(Bn))/count(Bn)とかそんなんで標準偏差を求める
(この式は二乗和平均だから少し間違ってる)

どうも順向き螺旋よりも逆向き螺旋の標準偏差？のほうが大きく出せたっぽい

まだテスト

y''+k^2y=0の解を真円偏光なるオイラーの公式にする初期条件

y''+k^2y=0を解くと
exp(ikt)とexp(-ikt)の線形結合であるという予想ができるので

y=Aexp(ikt)+B(-ikt)
とするだろう。

このうちの、AかBどちらかだけに残っていてもらってもう片方にお亡くなりになってもらえばいいのだから
たとえばBにお亡くなりになってもらうとして

y=Aexp(ikt)
にすれば立派なオイラーの公式となる。

B=0にしたいので

t=0におけるAを満たすには

y=A
および
y'=ikA

つまりy'/y=ik

これが条件だ！

A=1なら、よりシンプルだ。


数値計算したければ
y'=ikyなので、差分法を用いて

(y1-y0)/dt=iky0
つまり
y1=y0(1+ikdt)　（y0=A）

こうだ。


また、Aにお亡くなりになってもらうとするなら
y'=-iky
数値計算においては
y1=y0(1-ikdt)　（y0=B）



まとめると
y'=±iky　
y1=y0(1±ikdt)　（y0はAxorB）

この初期条件を使えば、真円偏光なオイラーの公式が解として出せるはず！
これでkやdtについても一般化できたぜ！ﾌﾋﾋｗｗｗｗｗｗ

y''+y=0の初期値を試行錯誤してノルムを1に保つ

実はこの初期値、ただ複素数にするだけではオイラーの公式((真)円偏光)っぽいものは出ない。

初期値に実数を入れると、三角関数そのものになる(直線偏光)が、その絶対値の2乗を取ると
当然、全波整流に似たものになるだろう。
厳密には全波整流ではなく、角ばってはいない。
c^2+s^2=1
から
c^2-s^2=c2
を引くと
2s^2=1-c2が得られるので
s^2=(1-c2)/2
つまり、周期を半分にしてバイアスがかかった余弦波そのものである。


では、ノルムが直流なのと、全波整流っぽいやつの間には何があるのだろうか

それが、楕円である。

たとえば
(x/2)^2+y^2=1
という楕円の式があったとして
cos=x/2
sin=y
とすると

x^2+y^2=(2cos)^2+sin^2=4cos^2+sin^2=3cos^2+1となって、脈流する。(楕円偏光)
これは全波整流でも直流でもない。ちょうどその中間に相当する。



ということを、トンネル効果の数値計算をやっていて今更思い知らされたので、メモしておく

トンネル効果の境界条件3

昨日、トンネル効果の壁の幅や高さについていろんな極限を取ったのはですね
久々の計算だったので、検算のかたわら、というのがあったんですよ。

壁がない状態にして自由粒子状態にしたり
右側しかない井戸型ポテンシャルみたいにしたりして
定性的に納得できるところまで落とし込んでみたんです。

もちろん、その中には、透過波＋反射波＝１というのも常に含まれます。


複素行列の計算なので
Excelでできなくはないのですが大変ですし
scilabは使ってました。
（Excelにある複素数と行列は、複素行列として合体できる仕様にはなっていないのです）


MATLABに似たコマンドたちがうごめく、あの数値計算に特化したプログラミング言語？です
ただし現在のMATLABとは違ってscilabはフリーです。
また、MATLABとは似てるんですが、互換性はないといわれているそうです。
あと、有志のみなさんが作ったものなので、バグや冗長性がまだ潜んでいることがあるようです。
まあフリーツールなので大目に見てね、みんな自由に生きているって感じですね。



さて、scilabの画面を見ると、閉じていないので、一見、プログラミング言語のように見えないかもしれません。

しかし、SCINOTESという、閉じたファイルにすることもでき
そういう見方をすればだんだんプログラミング言語っぽく見えてくるかもしれません。

ただし、実行ファイルが作られるわけではありません。
(作ったファイルからデータを出したり入れたりすることはできそうな気はします)



この式はscilabで、kやk1、aやbに適当な数値を入れて検算しました。



＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

k=2,k1=4,a=2,b=5

a11=exp(-%i*k*a)

a21=-%i*k*exp(-%i*k*a)

a31=0

a41=0

a12=-exp(k1*a)

a22=-k1*exp(k1*a)

a32=exp(k1*b)

a42=k1*exp(k1*b)

a13=-exp(-k1*a)

a23=k1*exp(-k1*a)

a33=exp(-k1*b)

a43=-k1*exp(-k1*b)

a14=0

a24=0

a34=-exp(%i*k*b)

a44=-%i*k*exp(%i*k*b)

a15=-exp(%i*k*a)

a25=-%i*k*exp(%i*k*a)

a35=0

a45=0

a1=[a11;a21;a31;a41]

a2=[a12;a22;a32;a42]

a3=[a13;a23;a33;a43]

a4=[a14;a24;a34;a44]

a5=[a15;a25;a35;a45]

B=det([a5,a2,a3,a4])

C=det([a1,a5,a3,a4])

D=det([a1,a2,a5,a4])

F=det([a1,a2,a3,a5])

G=det([a1,a2,a3,a4])
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
このように、scinotesに書いてます。

横ではなく、縦に並べているのも、可視化のためで

上2行のexpにはa、下2行のexpにはb
奇数行目の次元は無次元、偶数行目の次元は波束kの次元

1列目と4列目と5列目にはexpにkが、
2列目と3列目にはexpにk1が入り

2行目、4行目、5行目のexpの中身はプラス
1行目、3行目のexpの中身はマイナス

2,3列目の係数は4つのうち2つがプラスでもう半分がマイナス

という対称性みたいのを割りとあてにしてました。

B,C,D,Fは列ベクトルとして
[a1,a2,a3,a4]の逆行列をa5の列ベクトルに左から掛け算すればそれはそれで計算結果は出るのですが
解析計算での4次行列の逆行列は面倒で

クラメルの公式を使っていたため分子と分母それぞれで確かめておきたく
scilabでもそのようにしてました。
｛()^(-1)(B;C;D;F)にdet([a1,a2,a3,a4])を掛け算するという方法もありっちゃありでしたけどね｝
そのために、一旦列ベクトルとして縦に並べてから、その列ベクトルを
[a1,a2,a3,a4]などとあとから横に並べて行列にするネスト形式を取っていました。
(横から縦、ではなく縦から横にボトムアップした)

C=det([a1,a5,a3,a4])
G=det([a1,a2,a3,a4])
C=C/G
のようなことが簡単に行えますからね。


この段階で、解析計算とscilabの結果が無矛盾となっても、
前提がそもそも間違っている可能性が否定できなかったので、
ちゃんと波動関数としてつながるのを確認するまで、掲載は控えていました。

それでトンネル障壁の極限を取りつつ、楽なほうから検算を行っていたのです。

また、k=2、k1=4、a=2、b=5などというパラメータも、決して褒められたものではなく
大きな数値が出てしまうため丸め誤差などが気になっていました。
exp(+)とexp(-)を加減算するわけですからね、一見合っているように見えても
微妙に間違っているかもしれません



つづく

トンネル効果の境界条件1

昨日はここまでやりました。


ここで、b=0の極限でどうなるのか試してみますと
B=0、F=1という、自由粒子の解が出てきます。


では逆に、b→∞の極限ではどうなるでしょうか。
そのために、分母分子をcosh(ハイパボリックコサイン)で割ってみましょう。
そうすると以下のようになります。

その上で、b→∞にもっていきますと、tanh(ハイパボリックタンジェント)が1になり
ハイパボリックコセカント(cosech)はゼロになります。
が、Dについてはexp(k1b)との掛け算があるので油断は禁物です。

検証していきますと、以下のようにちゃんと有限の値に収束することがわかりました。


ですので、

こうなります。
|B|^2=1になることはよかったら各自計算してみてください。
反射波がまったくなくなっていますね。
ただ、障壁の高さが有限なので、少しだけ壁の中に波動関数がしみ込んでいるのがわかるかと思います。

いわば、右半分だけの有限深さ井戸型ポテンシャルというわけです。


では、このトンネル障壁の高さを無限にしたら、ちゃんとしみ込まないようになるのでしょうか

k1→∞の極限を取りたいので、分母分子をk1の2乗で割ります。

このようにしてからk1→∞の極限をとると

このように、逆位相の反射波だけが生き残ることがわかるかと思います。


実は、bが有限のまま、k1→∞の極限でも同じ結果になります。


この状態から、k1の2乗で分母分子を割ってみましょう。

ここでk1→∞にすると
またしてもDが怪しいですが、先ほどと同じ計算で、expとcosecの掛け算は2に収束してくれるので
B=-1以外全部ゼロになり
bが有限でも無限でも関係なく

の結果になることがわかります。


つまり領域ⅡにもⅢにも波動関数はないのですが
領域Ⅰには波動関数があり

Ψ1=exp(ikx)+Bexp(-ikx)
のB=-1なので
Ψ1=exp(ikx)-exp(-ikx)=2isin(kx)
ということになります。

虚部に関しては、固定端反射の「節」と同じ結果になり
実部に関してはゼロなので、固定端反射の「節」でありながら自由端反射の「腹」でもある、という、なんとなーくだけどもコーシー条件っぽさが残る結果になりました

つづく




追記

トンネル障壁の高さをゼロにした極限は、今の状態のままだと実は解けなくて
粒子のエネルギーが障壁よりも高い状態にも拡張した式を構築する必要があるため
また今度ということで＾＾；
領域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲともに指数関数の中身が実数ではなく純虚数になりますからねえ・・・
数値計算だと、井戸型ポテンシャルでもやったんですが、あふれ出る貞子たんのように汎用性高いんですけどねえ

トンネル効果の境界条件1

昨日のブログ末尾に「つづく」と書いたな？あれは嘘だ。

「量子きのこのトンネル」改めて配信決定！

先日な「トンネル効果　数式」で画像検索かけたんよ。そしたらエゴサになってしまって
当時の自分に愕然としたんだよ。
2015年3月8日のブログだ。

トンネルの入り口をx=0としてやがる！！！！
つまりx=bって値だけが必要で、x=aなんていらんかったんや！！！
自分のセンスの劣化にorzしたわ


頭にきたので、解析計算のaを0に置き換えるだけで飽き足らず、
たーのしー行列式の掃き出し法からやり直したんだよ！

聞いてください。トンネル効果。

まず連立方程式はこうなる


それから分母はこうなった！





B(ack)の分子はこうなった！！！






F(orward)の分子はこうなった！



以上あらすじおわり！


CとDを出そう。
Cは「2行目」なので、「2列目」を置き変える。

②←②+ik①







Dは「3行目」なので、「3列目」を置き変える。

②←②+ik①





まとめるとこうなります。


2を約分して

さらにiを約分して


exp(ikb)でも約分できることがわかったので

ユーリカするともっと綺麗になりそうですね！

以上です。つづく

トンネル効果の境界条件

とりあえず無矛盾なだけでなく、波動関数もちゃんとつながって大丈夫そうなので、掲載します。


x=aからx=bまで、ポテンシャルU=U0で、そのほかはU=0のトンネル障壁があったとして
そこにE<U0のエネルギーでやってくる自由粒子のトンネル効果の反射と侵入と透過について書きます。


波動関数Ψは、x<aをⅠ、a<x<bをⅡ、b<xをⅢとして
Ψ1とΨ2とΨ3に分けることができます。

このΨ1とΨ2が、x=aでΨの0階と1階微分両方が連続
また
Ψ2とΨ3もx=bでΨの0階と1階微分両方が連続

というコーシー境界条件を満たしている必要があるそうなので

この条件を解きます。

領域ⅠではE>Uなので、Ψ''+Ψ=0の形の微分方程式を解くことになります。

Ψ1=Aexp(ikx)+Bexp(-ikx)

です。

領域ⅡではE<Uなので、Ψ''-Ψ=0の形となるので、指数の肩は純虚数ではなく実数となり
Ψ2=Cexp(k1x)+Dexp(-k1x)

です。
ここでAとCは進行波、BとDは反射波を意味しています。

領域Ⅲでは反射を考慮する必要がないため、進行波

Ψ3=Fexp(ikx)

のみの自由粒子となります。

x=aにおいて

0階微分
Ψ1(a)=Aexp(ika)+Bexp(-ika)=Cexp(k1a)+Dexp(-k1a)=Ψ2(a)

と、1階微分
Ψ'1(a)=ikAexp(ika)-ikBexp(-ika)=k1Cexp(k1a)-k1Dexp(-k1a)=Ψ'2(a)

が成り立っていなければなりませんし

x=bにおいても

0階微分
Ψ2(b)=Cexp(k1b)+Dexp(-k1b)=Fexp(ikb)=Ψ3(b)

と、1階微分
Ψ'2(b)=k1Cexp(k1b)-k1Dexp(-k1b)=ikFexp(ikb)=Ψ'3(b)

が成り立っていなければいけません。


4本の式に対して、A、B、C、D、Fの5つの変数になってしまいました。
そこで、4本の式全部をAで割り算し
B/Aを新しいB
C/Aを新しいC
D/Aを新しいD
F/Aを新しいFと定義しましょう

そうすると、以下のような連立方程式もとい行列方程式が成り立ちます。


この左辺の4行4列の行列の逆行列を、両辺に左から掛け算すれば、ただちにB、C、D、Fは求まるのですが
解析的な計算だと大変なので、クラメルの公式を使いましょう。

まず、4変数に共通する分母を求めます。

先ほど左から逆行列を掛け算しようとした行列の行列式そのものなので

こうなります。
2行1列目を消せば、掃き出し法がつかえそうなので、
2行目に、ikを掛け算した1行目を足して、2行目に代入しましょう。

②←②+ik①



そうするとこうなるので、
今度は3行3列目を消したら掃き出し法がつかえそうです。
なので、3行目から、ikを掛け算した2行目を引いて、3行目に代入しましょう。

③←③-ik②



そうすると結局、分母はこのようになります。
分母=exp{ik(b-a)}[2(k^2-k1^2)sinh{k1(b-a)}+4ikk1cosh{k1(b-a)}]



それでは次はBの分子を求めます。
Bは「1行目」なので、4行4列の「1列目」を、右辺の縦ベクトルと置き換えると、求めることができます。


先ほどの分母同様、
②←②－ik①
をしたあと、
③←③+ik②
をしていき


B→2exp{ik(a+b)}(k1^2+k^2)sinh{k1(b-a)}

を得ます。


次に、諸事情でFから計算していきましょう。

Fは「4行目」なので4行4列の「4列目」を置き換えます。



F→4ikk1
となりました。

実はこのBとF、ただ順番に文字を当てはめて、エネルギーであるEを抜かしただけなのですが
偶然にもBack(反射波)とForward(透過波)というダジャレになっておりまして

反射波の絶対値の2乗と透過波の絶対値の2乗を足すと、必ず1になるので、検算に向いているのです。
入射した波は反射するか透過するかどちらかしかないからです。

|B|^2+|F|^2=1


なので、分子は

exp(iなんちゃら)は無視して


分母もexp(iなんちゃら)は無視して、
せっかく分けた実部と虚部の2乗同士を足しましょう



この、上から下を引いてゼロになっていればいいわけですから
k1^2とk^2をそれぞれX、Y
双曲線関数の中身は全部同じなので、chとshに略記しますと

これの上から下を引きますと、第1項がまず消えます。


残りがこうなるので、4で割ってしまいますと

ch^2-1-sh^2

となります。これは、双曲線関数バージョンのオイラーの公式がありまして
ch^2-sh^2=1

となっているので、恒等的にゼロだとわかりました。

つまり、|B|^2+|F|^2=1が証明されました。


つづく

絶対トンネル許さないマンvs先っちょしみ込ませるだけだから！マン

トンネル効果の条件として、トンネル障壁の高さをゼロにするのはめんどくさいので
幅をゼロの極限に取ったら、自由粒子と同じ結果になることがわかりました。


じゃあ逆に、幅を無限大の極限に取ってみたらどうだろう？

と思ったんですが、これはどうも、普通にトンネル効果を解いてから極限を取った方が楽かもしれません。
久々に解いているので、手計算ミスが多く、今の状態では検算のための極限としてはどうも使えないみたいです


しかし十分に興味深いとは思います。
深さが有限なのか無限なのかはおいといて
井戸型ポテンシャルの左半分の絶壁＜まな板＞がごっそり消えているので
左側は少なくとも束縛されておらず
実数にされる必要もないかもしれない。複素数の螺旋を描かせてもらえるかもしれない
そんな状態で、右側の絶壁＜かなりまな板だよこれ！＞ではディリクレとノイマンの両方である
コーシー境界条件を課せられるわけで(無限深さだったらコーシーじゃないかも)
これって古典で言うところの反射じゃないですか完全に。

しかもそれが粒子としてではなく波動として描かれるわけだから
自由端になるのか固定端になるのか、とても興味があるんです

ポテンシャルの深さ次第でロビン境界条件に・・・いや違うか・・・




ところで、そんなことを考えながら運転していたら
「観測とはなにか」というテーマを思い出しまして
「観測された瞬間、井戸型ポテンシャルに入るのではないか」
という解釈が生まれましたが、まあこんな発想どこにでも落ちてますよね

ダル「オカリンって、苗字なんだっけ

まゆしぃ「オカリンは、上半分が苗字や



オカリン「人工テント…落ちたんだよな？」
ダル「だから落ちてないって

ぬいー

動物の写真

ツイッターで知り合った人たちの多くが関東圏の人なので、けもフレのファンのみなさんはがーでんに行ったみたいでした。

みなさん楽しそうでなによりでした。

僻地の僕は、こっちはこっちで、地元の友達とオフをしていて、
動物カフェにもいっときはいたのに、なんの写真も動画も撮ることなく去ってしまいましたね。
少しは撮ればよかった


ところで、ぱびりおんでは初登場の時に珍しい行動をとってくれる、珍しい行動とはのバーゲンセールのようなケツァールさんが現れてくれました。


シンカリオン土曜にやらなかったから、月曜のニコ生に期待とか、どういう論理構造してるんでしょうねえ
放送するわけないじゃんか

複素数を2次元ベクトルと見なした振り子

振り子の運動方程式
y''+(2π)^2*y=0
の微分方程式を解いた際、

時間tを変数とした関数y=A*exp(2πit)+B*exp(-2πit)の　(A,Bは任意の定数、複素数も可)

初期位置y(0)=exp(i*d1)
初速度y'(0)=exp(i*d2)
とした場合(d1,d2はともに実数、iは虚数単位)

d1-d2=nπ/2のnが奇数だったら円偏光っぽい振り子
偶数だったら直線偏光っぽい振り子
そのほか(nは実数？)だったらだ円偏光っぽい振り子となる


ようです


ファミマでガリガリ、久々に解析計算をしました。楽しかった。
今日100均で買ったペンとノートは車に乗せておこう

解決策備忘録：Excelの循環参照とnow-todayは相性が悪い

シミュレーション動画を作る上で、似たような機能であるだけに、相性が悪いのだ。


たとえば、2015/11/15の日記にあるgifアニメ
マクロ一切組まず、循環参照で行ったシミュレーションなんだが

波源の振動をインパルスではなく正弦波にするためにはどうしたらいいかと考えて
わざわざy''+y=0の微分方程式を作って解いていたが、その必要はどうもないようだ。

循環参照で
A1=A1+1

といったセルがあったとして、このA1セルをsinにぶち込めばいいだけの話じゃないか。