※冗談

留守中に適応放散していただきありがとうございます

ブログを1週間書いてなくてもアクセスが減らず、むしろより詳しく検索してくれたり
あるいはpixivのほうにも足を運んでくれたり
ツイッターから見に来てくれたり

もしかしたら「元気出せよ」の意味合いも込められているのかもしれませんが
中には「お前のブログ毎日何かしらの更新があってうるさくてうるさくて、情報がパンクしそうだったんだよ！休んでるうちにあちこち覗いとこー！」

って感じの方もいるのかな？とか思いつつ

でもやっぱり週1だと僕のリズムが保てないので
また少しずつ元気出したいと思います。どうも自己中ですこんばんは。



忘年会の幹事やったり、旅行の準備とかのために
風邪を引かないようにほとんど動かないことにしていたというか
いや別に僕を構成している粒子は運動していてもいいのですが
重心位置はあまり変わっていないというか


ほんと、風邪引くとむしろ治った後の下痢がつらいんです
抗生物質で善玉も悪玉も流れていってしまうので
やめろォ振動地雷！その攻撃は俺によく効くんだ！(ノットパニッシャーぱっかーん)

今日も空から下痢の豪雨が降る・・・いやすぎる

3次元時空と4次元時空の対角化

3次元時空のローレンツの伸縮公式のための生成子

こいつは固有値がカブらないからすんなり対角化できんだけど


4次元時空のやつがなー

固有値カブるから固有ベクトルどうなんのっていまいち自信ないんだよ

いっそのことウルフラム先生にネタバレ食らってしまおうか

別にユニタリじゃなくていいなら対角化のためのPは求まったんだけど
ユニタリじゃないから逆行列がめんどくさいんだよ

ユニタリにできるならできるだけユニタリにしたいよ。

ローレンツの伸縮公式、対角化からのアプローチその他あらすじ2

さっきのブログで、

ロドリゲスの回転公式
exp(Aθ)=E+A*sinθ+A^2*(1-cosθ)

が成立する行列は少なくとも2種類以上

 これや
 これ(ただしa^2+b^2+c^2=1)
などが挙げられますが
 これ(ただしΣ(an^2)=1)
はどうも成り立たないらしく、おそらくそれ以降も成り立たないみたいです。

もしかしたら、4次行列以上でも、要素が3つ以内(3つか1つ)なら成り立つのかもしれません。

こういうのや

こういうのみたいに

2次元配列中に1次元配列みたいな感じで配置されれば、次数や要素数がいくつでも成り立ちそうな気はしますけどね


同様に、ローレンツの伸縮公式のほうも

こういうのや

こういうのだったら
次数や自由度がいくつでも
行列指数関数の行列式が特殊ユニタリのように常に1になる実対称行列
(exp(A)の固有値がうごうご実軸上を移動してても、detは結局1になるやつ)
det(exp(A))=1　ユニタリじゃないのでabs云々の議論は無意味ーと知るよね
いわば特殊エルミート行列とでもいうべき？行列が作れそうですが
行と列入り乱れてるのは

こいつの、中身の3乗すらすっきり1乗に戻らないので
次数の一般化は不可能でしょうね
(a,b,cつのうちbだけ符号を反転してもたぶん無駄)


なんでしょうかね、マジックナンバー３？
我々が生きていける空間が3次元なのと、サラスの公式が3次までしか有効じゃないのって
深い因縁でもあるんでしょうか

わりとつづく

ローレンツの伸縮公式、対角化からのアプローチその他あらすじ

ここ1週間ほどブログ更新しなくてすみません。
僕も描けなくて欲求不満気味でした。自分に謝罪と賠償を要求します。


先日の「ローレンツの伸縮公式」シリーズ
完成させる予定の行列指数関数が実対称ではなくエルミートにしかならないからおかしいなーって思って
過去ブログ参照したら盛大に勘違いしていまして

生成子が
 
これ

(ただし、a^2+b^2+c^2=1とする)

じゃなくて

これ

(ただし、a^2+b^2=1とする)


だったんですよ！！！！！
(自由度が3つから2つに減ってるのは諸事情あります。そのうち述べます)

つまり、完成させたい行列指数関数も

これ

じゃなくて

これ！！！！

「歪エルミートじゃなくてエルミートをexpの中に入れるんだよね？」
ってところ以降全部間違い！！！！＞＜あばばばばあああああーーーごめんねええええ



まあそりゃぁ生成子だけじゃなく行列指数関数も実対称行列になるわーって感じですわ。
ちょっと今日はあらすじを書いておきたいので細かい話はあとでしますが

対角化からのアプローチを、「3乗が1乗に戻るアプローチ」に照らし合わせてみたんです。答え合わせです
そしたら、

またしても
ロドリゲスの回転公式の
exp(A)=E+A*sinθ+A^2*(1-cosθ)
なのか
exp(A)=E+A*sinθ+A^2*(cosθ-1)
なのかわからなくなりましてね


テイラー展開して解析してたら、ある当たり前のことに気づきまして

ある条件(規格化絡みの)で

Aを交代行列とすると

exp(Aθ)=E+A*sinθ+A^2*(1-cosθ)

これはロドリゲスの回転公式ですよね。

じゃあ、実対称行列になるBを定義して

exp(Bθ)

これは？
ってのが今回のテーマ「ローレンツの伸縮公式」でして

exp(Bθ)=E+B*sinhθ+B^2*(coshθ-1)

逆になるんですよ！ハイパボリックコサインのところの符号が！

でもよく考えてみると、これ当たり前の話で
iB=Aだとしたうえで、AもBも実数行列となるAとBの集合を仮定すれば
(もしかしたら実対称→エルミート、交代→歪エルミートに一般化できるかもしれません)

exp(iBθ)=E+i*B*sinθ+(iB)^2*(1-cosθ)
exp(Bθ)=E+B*sinhθ+*B^2(coshθ-1)

これ、ただのオイラーの公式の行列バージョンじゃないですか！

スカラーでたとえるとこうなります。

exp(iθ)=1+i*sinθ+i^2*(1-cosθ)=cosθ+i*sinθ
exp(θ)=1+sinhθ+(coshθ-1)=coshθ+sinhθ

ね？当たり前の指数関数の公式でしょ？

当たり前だったんですよ・・・


ただ、これが行列にも当てはまるための条件が、
「行列AやBが規格化されている」というものだったんです。
(トレース＝０の条件も必要かもしれませんね)
 
上の例でいくと
a^2+b^2+c^2=1
や
a^2+b^2=1
がこの条件に相当します。

つづく

新兵器、素数タリアン

僕にとっての植物というものは、得体のしれない、異質なもので
しかしだからといってすべての植物を一滴たりとも残さず駆逐してやろうという意気込みのベジタリアン(やさいぶんかい)ではないのだが

僕にとっての素数というものは、得体のしれない、気持ちの悪いもので
だからこそすべての素数を一数たりとも残さず駆逐してやろうという意気込みで素数タリアン(そいんすうぶんかい)を好んでやっているのかと言われると、まったく肯定である。


これが、愛・憎=-1の線形従属(ハンヘイコウ)というものであるというのか。

矢口「我々の群れとしての力を見せるのです」

風邪を引いている間にどんどん日が過ぎて
前に散髪した日から73日が経ってしまいました。

抗生物質による振動地雷効果で腸内界が液状化しますのでどこもいけないし
体毛なんかないほうがいいんですけど、一時的に頭が寒くなるのは勘弁してほしいので
なかなか散髪にも行けず、これを5回繰り返したら365日経ってしまうところでした。


図は、かばんちゃん第5形態です。かばんちゃんががんばって尻尾を生やし、その尻尾にある8本の毛がヒト化して群れを作る、矢口プランです。ぱーぱぱっぱーらららららら
フレンズの通勤手段でもある無人ジャパリバス爆弾や無人ジャパリ・ボス爆弾でセルリアンを誘導し、ジャガーの船やたいまつ、超ひもなどのあそびどうぐ＜はたらくくるま＞でセルリアンと闘い、穴を掘ってセルリアンをダイナミック土下座させます。

セルリアンとフレンズのベストマッチであるかばんちゃんは、セルリアンを説得できるため
彼らに「たーのしー！」と「ジャパリまん×りょうり」食文化を覚えさせます。

うらやましがったセルリアンがたまたま食べていたタイツから、セルリアンはフレンズの真似をして群れを作ります。

そしてパークに平和が訪れます。
日
常
！！

ハンターたちも、ようやく自分たちの不動産兼移動手段＜サンドスターえんじん：セルリアン＞を手に入れて、まんぞくです。





シン・ゴジラ　地球防衛企業ダイ・ガード　ダイガード　衰退ダンス　けものフレンズ
ハワード・ザ・ダック
 
 
 
 
←紙飛行機に乗る2人
ジャパリパークの「さばんなちほー」に暮らす「フレンズ」であるベヴァリーはある日、自分の縄張りに現れたひとりの迷子を見つける。

「ここはクリーブランドだよ！私はベヴァリー！」

ベヴァリー「昨日のサンドスター(レーザースペクトラスコープ：STM)で呼ばれた子かなぁ？」

ハワード「そのお耳とお尻は？」

ベヴァリー「どうして？そんなに珍しい？あなたこそ、尻尾があって耳のないフレンズ？珍しいね！」

「鳥の子ならここにトサカ！はあるね！キミ、もしかしてアヒルのフレンズ？」

「フードもある！ヘビの子！？それにもう、元気になってる！すごいよ、私、あなたの強いところ、だんだんわかってきたよ。きっと素敵な動物だね。楽しみだなあ」


「これは研究所じゃないとわかんないかも。」

フィル「ボク、フィル。キミ、ハワード。ボクタチフレンズネ！」

ハワード「やかましい！」

フィル「ｱﾜﾜﾜ・・・」



「レーザースペクトラスコープが動物に当たると、フレンズになることがわかっていましたが、
ジェニングに当たるとセルリアンになることがわかってきました。
なお、ジェニングは1種類ではないという報告もあり、」

ハワード「ベヴァリー、ボク、地球外にETIを探しに行ってみたい。」

ベヴァリー「レーザースペクトラスコープ！？ダメだよハワード！あれがないと外に宇宙人を」

ハワード「いいんだ。そんなことよりクリーブランドを」


PPPライブ
ハワード「空は～飛べないけど～」(CV：フリーザか所さん)

ローレンツの伸縮公式、対角化からのアプローチ3

昨日・・・じゃなくて今日、の続きです。

 
この行列Aを、ユニタリ行列Pとそのエルミート共役P†で対角化しましょう。

 
 

対角化されたあとの行列をJとおくと
J=P†APとなるわけですが

せっかくなので、Pをモジュール化してみます。


 
こうおいてみますと、対角化行列Jは
 
 
このように表されますね。

最後の計算は長いので、要素ごとに分けて表示しますと
2行目が全部ゼロなのはいいとして、非対角成分は
 

このように
対角成分は
 
 
このようになりますね。

非対角成分は、計算するとすぐにゼロだということが分かると思いますので、計算してみてください。


残るは、対角成分2つです。
 
整理すると、J11=-J33と、ただ符号だけが逆なのだとわかるので、J11だけ計算します。
一般に、2つの複素数vとwの、複素共役を交えた交換関係のような式は、虚部をi2倍した
 
であることがわかるかと思いますのでJ11は
 
 
こういうことが言えます。

ここでようやく、v1、v2、v3やその複素共役の中身を思い出すわけですが
 
なので、虚部はc/2ですね

同様に

 
実部と違って虚部は一見なんのことかよくわからないように見えますが
a^2+b^2+c^2=1の規格化条件を思い出してみると
a^2+c^2=1-b^2であることがわかり、実部同様、虚部も約分できて
b/2であることがわかるでしょう。

さらに

 
となって、虚部がa/2であることがわかります。

よって、J11=2(c*c/2+b*b/2+a*a/2)=(a^2+b^2+c^2)=1
であることがわかり、J33はその逆符号である-1であることがわかります。


つまり、
 
と、めでたく固有値±1と0で対角化できたというわけです。

ローレンツの伸縮公式、対角化からのアプローチ2

さっきの続き



固有値λが1,0,-1のときの固有ベクトルをそれぞれ求めます。

まずλ=1から
 
この連立方程式について、v1,v2,v3を求めるわけですが
もちろん永年方程式なので、固有ベクトルの3つのvの値は求まらず、v同士の比しか求まりません。

これが結構複雑でして、線形ではあるものの、実数とか純虚数にとどまらず、一般に複素数のベクトルになります。

 
こんな比になりますが、実は規格化条件という、4本目の式が隠れていまして
それを使うと4本の式になるので、結局、3つのvの値は確定できます。

v1^2+v2^2+v3^2=1

これが規格化条件です。

少し具体的に計算しますと
A^2{|-ab-ic|^2+|(1-b^2)|^2+|-bc+ia|^2}=1

となるので、
A=√(2-2b^2)
となります。よって、固有値λ=1のときの固有ベクトルp1は
 
と、確定できます。


次に、λ=-1のときの固有ベクトルを解きますが
 
今度はこれを解けばいいということになり
結局、p3はp1の複素共役になります。
規格化定数も√(2-2b^2)と、同じものとなりますので
 
こうなります。


最後にλ=0のときの固有ベクトルを求めますが、これは簡単で
もちろんこういう式になって
 

固有ベクトルは
 
こうなります。最初から規格化条件を満たしていますね。


この縦ベクトルp1,p2,p3を横に並べたものを使って、対角化するわけですが
規格化された固有ベクトルなので、この3次行列はユニタリ行列となり

 

行列式は-iとなって、ガウス平面の単位円周上にあることがわかるかと思います。

ユニタリなので、逆行列を求めるのも簡単です。エルミート共役(転置して複素共役)
inv(P)=P†
を取れば、逆行列になります。
 
掛け算PP†すると、単位行列になるはずです。


実はPもP†も、縦横どちらの2乗和を取っても、1になります。ルービックキューブみたいですね！しらんけど


 

ローレンツの伸縮公式、対角化からのアプローチ1

ふはははは！ノーイベントグッドライフでエンドレスエイトな、ゆゆ式ループの開幕だぁ！


今日は、いかにサボってそれなりのブログを書くかを努力する日です。
風邪にかかって1週間、とうの昔に余力がありません。


ロドリゲスの回転公式をアレンジして、ローレンツの伸縮公式にしてみます。
これを、対角化からアプローチします。


まず、(x,y,z)がまだ規格化されていないベクトルとして
W^2=x^2+y^2+z^2

(a,b,c)W=(x,y,z)

となるようにします。

そうすると
a^2+b^2+c^2=1なので

 
とできますよね。
この、Wを除いた行列の固有値を求めると、少し楽ができるという寸法です。

 
なので、固有値をλ=0,±1と、簡潔に記述でき、次の固有ベクトルの計算に向けて
かなり楽ができることになります。


今日はもうこれでいいや。
続きは、余力がありしだいアップします。

ガルパン史実説

アプリ版けものフレンズ廃校を防ぐべく、アニメを始めたヤオ∃□ズ(大洗)

軍神かばんちゃん

劇場版：役人(K∀D○K∀M∀)「廃校を免れるとは言ってない」

ヤオ∃□ズ(鎧武さんチーム)「げんちとったどー！」←このあとすぐ
 
最終章。ガルパンが終わってしまう
役人「大洗廃校は俺意外にはやらせない！

止まるんじゃねーぞ！」
 
 

地球防衛企業ダイ・ガード
モデル：ぽむへい様
PPP「私が、私たちが、ガンダムだ！」


けものフレンズりぴーと
神の才能を持つ男「ヴェーハハハ！こんなこともあろうかと、隙間の分のアニメも作っておいたのさー！！！ざっと3クール分くらい作っておいたぞー！
(というのはハッタリで、残り2クール分：その後と序章は押し入れのパソコンで目下シミュレーション中)」
ARアプリ2のOPで颯爽と登場する神「時間差(2年くらい)コンティニューだぁ！」

寡黙そうに見えて実はめっちゃよく喋る神

備忘録：

人類のビギナーズラック
例：てれび

スーパー積分人～身勝手の極意編～

部分スーパー積分人を用いた、スーパー積分人を超えた、スーパー積分人



複素数を使ったスーパー積分人ブルー





スーパー積分人(身勝手の極意)
 

亀仙人「動きに無駄がないぞいっ！٩( 'ω' )و」



ブルマ役の鶴ひろみさん、心よりご冥福をお祈りいたします

対称性の入れ子と、鏡

 
（横読み←→縦読みにもできたような気がする）
 
鏡に映った自分がなぜ左右だけ反転して、上下に反転しないのか
という問題、
人間の錯覚だけの問題ではないのだろう

錯覚で片付けられると「いやいやｗｗｗｗそんなわけねえだろｗｗｗｗ」
ってなりかねないが、
実際、左右に回りこむと想像しがちで、上や下から回りこむ想像はほとんどしないから
やはり錯覚も原因の1つではあるようだ。


ただ、考えなくてはならないのはそれだけではなく
空間は3次元で、「上下」「左右」と、もう1つの「反転」がある。つまり「手前と奥」の反転だ。

左右をx、上下をy、手前と奥をzと考えると
x軸反転→y軸反転→z軸反転をすると、全部「反転」しかしていないはずなのに
元の状態に戻る。

これは「パリティ」と呼ばれるもので、P対称性と言われたりもするのだけど
このほかに「荷電共役反転C」と「時間反転T」があって

興味深いことに、P反転→C反転→T反転をしても元に戻ると言われている。
つまり、対称性がネストとかマトリョーシカとか、そういう「入れ子構造」になっているのだ


へヮへ「せんせい！この問題は、C→Pをやった時点ですでに元に戻ってしまいます！」

０ｗ０「おお、すまんすまん！問題が悪かった！新しい問題だよ！代わりにＩＳＯ山椒モデルをあげよう！」

ＴｘＴ「１５０？」

０ｗ０「ＩＳＯだよ！い・そ・さ・ん・し・ょ・う！」

ロドリゲスの回転公式、対角化からのアプローチ4

昨日はついヒャッホウしてその3のタイトルを間違えてしまいました。＞＜欠番扱いです

準備が整ったので、対角化からのアプローチで、行列指数関数を使って
ロドリゲスの回転公式を導出してみましょう。

Aの行列指数関数exp(A)を計算すると、ロドリゲスの回転公式になるはずです。

対角行列Jを
として、行列指数関数はテイラー展開から、
exp(A)=Pexp(J)P†で与えられるので
Pとそのエルミート共役P†を



とすると

対角行列の行列指数関数は

このようになるため、
以下のように略記します


その上で展開しますと


このようになります。ここで、X,Y,Zはそれぞれ、複素数x,y,zの絶対値の2乗とします。

また、

この2つの複素数は、それぞれ三角関数と実部・虚部を用いて、複素共役の関係にあることがわかるため、式は以下のように展開できます。

ここで、X,Y,Zと、x'y、y'z、z'xの中身をぶちまけてみますと



このようになるため、
以下のように展開できます。



これで完成のはずなので、A^3=-Aとなる関係を用いて導出したロドリゲスの回転公式と比較してみましょう。

exp(A)=E+Asinθ+A^2*(1-cosθ)

なので


ぴったりと一致しているのがわかるかと思います。