20080511~
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
大学時代、「いつもw-k特性は2乗にプロットされるんじゃないんすか!?」
って質問を先生にしたときの先生の答えが意味わからんかった覚えがうっすらとあってな こないだだよ、ついこないだ。 よく考えてみたら、E=p^2/(2m)+Vなんだから、自由粒子でもない限り、ポテンシャルに依存するじゃねーか!って。 じゃあその依存度合いをどうやってプロットすんの? って考えて、一瞬、お、おう・・・!?ってなった。 ポテンシャルVが位置xの関数なのに、エネルギーEを運動量pの関数で表そうとしてる。なんだこれ。 でもよく考えたら、束縛状態になるってことは、エネルギーは離散値を取るんだよな だからってわけでもないけど、数値計算してその結果をプロットしてから関係を見ても 結局解析的な結果とあんま変わんないんじゃね?とか思えてきて。離散値だからある程度しらみつぶしができるし。 っていうか、井戸型ポテンシャルだったらEは波の数kの2乗 調和振動子ポテンシャルだったらEは波数kの1乗に比例だよね なんだたいしたことないじゃん って思えてきたりした。 じゃあ逆に、トンネル障壁とかだったらエネルギーは離散値にならないわけだよなー ガウスな波束ぶっこんでみてえ。 ああ、そういやトンネル障壁といえば 1次元だったらトンネルの自由度は0 2次元だったら自由度は1以下 じゃあn次元空間だったらトンネル障壁の自由度ってn-1個以下になるのかな? たとえば平面に平面波ぶっこんで、まな板なトンネル障壁だったら実質1次元と同じだよね 2次元空間にまな板なトンネル障壁おいても、波源が線じゃなくて点だったら、そりゃぁ2次元的なトンネル効果になりますわなあ 逆に、波源が点の2次元トンネル障壁も、波源から距離が一定の円だったらこれも1次元と同じで 円状のトンネル障壁でも、波源が点じゃなくて有限の直線状だったり、あるいは円の中心じゃないところから波が出てたりしたら、いわゆる線形独立になるわけだよな じゃあ3次元空間のトンネル障壁ってなんだ 球殻で囲った内部の、中心じゃないところが波源のトンネル障壁か? α崩壊の中心が、障壁(原子核殻)のど真ん中じゃなかったら?みたいな感じ? 位相までは無理でも、可視化できたら面白いだろうなあ 立方体状のトンネル障壁から始めてもいいよね 波動関数の絶対値が可視化される感じかなあ 立方体の中で共振みたいのが起きてる最中に、少しずつ漏れ出すイメージ? PR
10行10列
9行9列 任意の複素行列対応ですよ奥さん! トレースの値が、n次多項式のn-1次の係数の符号反転になるんです! (scilab) いやぁすごいものを見させてもらいました。 理屈は余裕が出たら書きますが、僕が見たページでは、余因子展開してたっぽいです。 その余因子展開の方法が、最初の行の1列目から順番に一行全部やってるっぽいですねw σとかSnとかsgnとか、説明もなしに初めて見る記号たちがいましたよ・・・ 置換行列だったっけ ほかの次数のは無理としても、せめてn-1次は出せておきたいね。 あとn-2次と0次な~ 少なくともエルミート行列にしなきゃならんし ノルム=1も定義しないといかんだろうし たぶん特殊ユニタリ生成子限定の定理になるんじゃねーかな、n-2次の係数は。
n次の固有値多項式(方程式)のn-1次の係数がトレースになる
っての、タイトルみたいなググり方で見つけたっぽい! ノルムがn-2次の係数に一致するのはどうググればいいものかなー ノルムっつうぐらいだから、「特殊ユニタリ生成子の」ぐらいの制限があるのかも 思えばなんでこの沼に足突っ込んじゃったんだっけな 中途半端に経験あるもんだから、途中でちょっと天狗になって、車輪の再生産工場気取ってみたりして、ネタがなくて人にも聞けず、自爆 元々はパウリ行列、ゲルマン行列、クォータニオン界隈のイメージを自分がしたくて なんかいい例題はないかって考えたのがパウリ行列版オイラーの公式だったんだよな はぁ・・・初心に帰るべきだよなぁ
今、何の準備もしないまま見学に行ったら絶対gdgdになる。
何を聞きたいのかすら忘れた。 せめて同じ計算、同じ考え方をなぞるだけでもいいから、当時の熱意を思い出そう。 そしてもしこっちがやれることは全部やった! って感じで赴いたとき そこに現場の人か、実験屋か、理論屋か あるいは客の中にどのくらい物理をかじった方がいるのかは、行ってみてのお楽しみだ。 いくら研究機関といえども、やはり大きな施設ともなると、分業も進んでいると考えられるわけで 大きな会社みたいに考えたほうが自然だと思う。 関係者もそうだけど、 見学客の知識量もバラバラな可能性も考慮しておこう。 金があって興味もあって、でも知識がない憧れでたどり着けた人や 知識はあるけど数学があまりできないという人も少なくなかろう 実際僕の友人もそうなのだ。 話として興味はあるが、僕が日々このブログなどでやっていることを見て 喜んでいるんだけども 楽しさだけが伝わって、内容が伝わってないことも多いらしい まあそれはそれで大歓迎だ。 往復で結構な旅費になってしまったからなあ 一生で2度以上行けるかどうかもわからないし、ぜひともこのチャンスを有意義なものにしたい 考えている主なことはそうだな、 SU(3)の生成子(ゲルマン行列)が何を意味しているのか だろうか。 いまいちここの部分が、今の僕の頭では、ただの数学の範疇を出ておらず あまり物理とは呼べない状態だったりする SU(2)で対称だった固有値がSU(3)で非対称になる、というところも聞いてみたい あわよくばSU(4)以降の物理的な出番があるのかどうかも知りたい このURLをあらかじめブックマークしておいて、 当日はスマホからぱっと出せる状態にしておかないとな。 森の中の山の穴の中だろうし、圏外なうだと詰むしな・・・ pixiv1 うごイラ であるときでさえ この2つの固有値群3つ2セットは一致しない ただし、2次行列の固有値λ1とλ2は以下のように定義されるとする はい、ダメでした。なんてこったー scilabに乱数ぶち込んで数値的に確かめてみて、こうもやすやすとダメだったとはね 2次と3次の時点でダメなら、4次以降の任意の次数に拡張とか無理じゃん それにしても 忍者ブログの不具合治ってよかった~! いやまじで僕だけに課せられたペナルティかと疑い始めてましたからね! 平和の象徴オールマイトの目が影に隠れてるのは乳首のメタファーとか言ったせいで社会から抹殺されたんじゃないかってビクビクしてたからね! それか、先日間違えたコレを訂正させないための陰謀論かと思いましたからね!
フルメタが今の時期に復活してくれなかったら、このギャグを永遠に思い出せなかったかもしれない。
今となっては、 徳川吉宗が仮面ライダーになってASに乗る図しか想像できない。 もう一つ、フルメタのレーバテインとゼーガペインの名前はギャグなのかな?って思ってたのも無事思いだせた。 amazonプライムでTSRを見てると、WOWOWノンスク枠って存在を思い出して無性に懐かしくなる。 乳首権出してるアニメって結構掘りだしものになったよなぁ。 人類史が乳首に見限られてから、もう結構経つんじゃないか。乳首にまだ愛想つかされてなかった時間よりもう長くなってるかもしれないね ああそうそう、ヒロアカのオールマイトの目って乳首に似てると思うんだ。 ムキムキになった状態ではめったに見せないから、こっちが女性の乳首で ガリガリ状態の目が男性の乳首に相当するわけだね!
n次の特殊ユニタリ生成子の固有値方程式がな?
ちゃんとこうなるのかまだ証明できてねえのよ。 どーにか証明に近づけないか、あがいたり昼寝したりしてたんだけど 今朝、ふといいことを思いついてな こんな風に、ゲルマン行列の中にパウリ行列みたいのがマトリョーシカになってる構造を利用して 固有値使ってなんか楽できねーかなーって まあ、中に入ってる2次の行列が、パウリ行列に似てるけど厳密にはちょっと違うから 話はそんな単純じゃないんだけどね 固有値x1とx2を求める方程式は以下のようになるよ 解(固有値)はこうなる このx1,x2を にぶち込むと、ちゃんと目当ての こういう式にたどり着く分けです。 今回は3次のゲルマン行列を例にしたから大したことなかったんだけど、 4次行列の固有値を求めたくなったら、結構楽できそうなわけですよ。 ただなー、これをn次一般に拡張できるかが問題で たとえば5次の生成子だったら4次方程式を解かにゃならん ってなったらただの先延ばしだし 6次の生成子だったら5次方程式になってなんのこっちゃってなるわけよ。 というか、5次方程式を出すために5次の行列式で死ぬ思いしそうなんだけど 今考えてるのは、解と係数の関係を使うこと。 これで再帰構造の数珠つなぎになってぱっかーんとスカラーまでフィーバー起こればありがたいんだけど、なるかなあ? 目的はあくまで方程式の解じゃないんだよな、n-1次の係数がゼロになって、n次とn-2次の係数が逆相になるって証明がしたいのよねえ
昨日のブログに書いた、9次の特殊ユニタリSU(9)の実装を、scilabで行ってみます。
scilabは、信号処理に特化したオープンソースのプログラミング言語なので 複素行列の扱いが得意です。 まず80個の自由度を持つので、0から1までの間の一様(?)乱数を80個生成しましょう。 1行80列のベクトルsとして生成します。 s=rand(1,80) 次に、このベクトルのノルム(長さ)を1にします。 s=s/norm(s) できあがったら一応、長さが1になっていることを確認しましょう。 norm(s) 9つの対角成分の入力をします。 x1~x9の9つです。 x1=s(3)+s(8)/sqrt(3)+s(15)/sqrt(6)+s(24)/sqrt(10)+s(35)/sqrt(15)+s(48)/sqrt(21)+s(63)/sqrt(28)+s(80)/sqrt(36) x2=-s(3)+s(8)/sqrt(3)+s(15)/sqrt(6)+s(24)/sqrt(10)+s(35)/sqrt(15)+s(48)/sqrt(21)+s(63)/sqrt(28)+s(80)/sqrt(36) x3=-2*s(8)/sqrt(3)+s(15)/sqrt(6)+s(24)/sqrt(10)+s(35)/sqrt(15)+s(48)/sqrt(21)+s(63)/sqrt(28)+s(80)/sqrt(36) x4=-3*s(15)/sqrt(6)+s(24)/sqrt(10)+s(35)/sqrt(15)+s(48)/sqrt(21)+s(63)/sqrt(28)+s(80)/sqrt(36) x5=-4*s(24)/sqrt(10)+s(35)/sqrt(15)+s(48)/sqrt(21)+s(63)/sqrt(28)+s(80)/sqrt(36) x6=-5*s(35)/sqrt(15)+s(48)/sqrt(21)+s(63)/sqrt(28)+s(80)/sqrt(36) x7=-6*s(48)/sqrt(21)+s(63)/sqrt(28)+s(80)/sqrt(36) x8=-7*s(63)/sqrt(28)+s(80)/sqrt(36) x9=-8*s(80)/sqrt(36) ここで、計算ミスがないように、検算をしてみましょう。 x1からs9までの和はゼロになるはずです。 次に、非対角成分のうちの上三角部分を定義しましょう。 a12=s(1)+%i*s(2) a13=s(4)+%i*s(5) a23=s(6)+%i*s(7) a14=s(9)+%i*s(10) a24=s(11)+%i*s(12) a34=s(13)+%i*s(14) a15=s(16)+%i*s(17) a25=s(18)+%i*s(19) a35=s(20)+%i*s(21) a45=s(22)+%i*s(23) a16=s(25)+%i*s(26) a26=s(27)+%i*s(28) a36=s(29)+%i*s(30) a46=s(31)+%i*s(32) a56=s(33)+%i*s(34) a17=s(36)+%i*s(37) a27=s(38)+%i*s(39) a37=s(40)+%i*s(41) a47=s(42)+%i*s(43) a57=s(44)+%i*s(45) a67=s(46)+%i*s(47) a18=s(49)+%i*s(50) a28=s(51)+%i*s(52) a38=s(53)+%i*s(54) a48=s(55)+%i*s(56) a58=s(57)+%i*s(58) a68=s(59)+%i*s(60) a78=s(61)+%i*s(62) a19=s(64)+%i*s(65) a29=s(66)+%i*s(67) a39=s(68)+%i*s(69) a49=s(70)+%i*s(71) a59=s(72)+%i*s(73) a69=s(74)+%i*s(75) a79=s(76)+%i*s(77) a89=s(78)+%i*s(79) 要素を書きだしたら、これを行列に入れます。 いっぺんにやると凡ミスをしやすいので、1行ずつ入れることにします。 B1=[0,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19] B2=[0,0,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29] B3=[0,0,0,a34,a35,a36,a37,a38,a39] B4=[0,0,0,0,a45,a46,a47,a48,a49] B5=[0,0,0,0,0,a56,a57,a58,a59] B6=[0,0,0,0,0,0,a67,a68,a69] B7=[0,0,0,0,0,0,0,a78,a79] B8=[0,0,0,0,0,0,0,0,a89] B9=[0,0,0,0,0,0,0,0,0] A=[B1;B2;B3;B4;B5;B6;B7;B8;B9] こうして、上三角部分は埋まりました。 エルミート行列なので、下三角は上三角の複素共役です。 A=A+A' ここまでで、非対角成分すべてが埋まりました。 念のため、ここでエルミートであることを確認してみましょう。 A-A'=0 対角要素を入れます。 A(1,1)=x1 A(2,2)=x2 A(3,3)=x3 A(5,5)=x5 A(6,6)=x6 A(7,7)=x7 A(8,8)=x8 A(9,9)=x9 これでエルミート行列Aが完成したので 今一度A-A'=0が成立するのを確かめておきましょう。 ここで、いきなりexpm(%i*A)とやってもいいのですが、せっかくなので寄り道して Aの固有値方程式と固有値を見てみましょう。 変数xを定義します。 x=poly(0,"x") 次に、固有値方程式Bを見てみましょう。 B=det(A-x*eye(9,9)) detは行列式、eye(n,m)はn行m列の単位行列を意味します。 0.0000013 + 0.0000969x + 0.0011569x^2 - 0.0025147x^3 - 0.0637862x^4 - 0.1498150x^5 + 0.2886920x^6 + x^7 - x^9 しっかりと、7次の符号が9次の符号の逆相になっていて、8次の係数がゼロになっていますね。 係数がちゃんと実数だけでできていることも確認しておきましょう。 この9次方程式の解はすべて実数です。エルミート行列であることからそういえます。 Aの固有値がこの9次方程式の解なのですが spec(A)を計算してみるとわかります。 - 0.6196769
- 0.4362829
- 0.2728734
- 0.2080910
- 0.0761649
- 0.0165342
0.1421505
0.4476562
1.0398167
エルミート行列をただの数に例えると実数 歪エルミート行列は純虚数に対応するため expm(%i*A)は、複素平面上の単位円に相当します。 これがユニタリ=ユニットな行列と呼ばれる所以です。 C=expm(%i*A) を計算してみて(行列指数関数などの場合は、関数名の後ろに行列(matrix)を意味するmを付ける必要があります) spec(C)を計算してみますと 0.5063784 + 0.8623114i
0.9014641 + 0.4328538i
0.8140662 - 0.5807721i
0.9899136 + 0.1416723i
0.9063287 - 0.4225735i
0.9630005 - 0.2694997i
0.9784271 - 0.2065925i
0.9998633 - 0.0165335i
0.9971009 - 0.0760913i
このようになり、固有値がすべて複素平面における単位円周上にあることが確認できます。 また、このユニタリ行列は「特殊」ユニタリ行列といって、 abs(det(C))とやるまでもなく det(C)そのものが1になるという性質があります。 つまり個の場合は9つすべての固有値の積が、ちょうど実正数の1になるということです。 なお、今回乱数にすべて正の数を用いたのは、 複素共役を見やすくするためでした。 Aの上三角の虚部がすべて正の数で、下三角の虚部がすべて負の数になります。 |
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年齢:
42
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性別:
男性
誕生日:
1981/04/04
職業:
WinDOS.N臣T
趣味:
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介:
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます 例:H→7番目、XP→15(P)×26+23(X)=413番目。 A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいズコー
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