ゲルマン行列可視化機

可視化はきれいさっぱり諦めたと言いましたよね？あれは嘘です。
未練タラタラでした。


複素数ではあるものの、高々3×3の回転行列もどきの可視化になぜ苦労せにゃならん
って思いはあったんです。


でもやっぱり大したアイデア出ませんでした＞＜


3行3列のユニタリ行列の固有値なんて、複素平面上の単位円周上に3つ以内しかないのなんてわかりきってることじゃないですか。
たとえユニタリ行列をいくらかけてもユニタリ行列なんだから、n行n列だったらn個以下しかないのもあたりまえじゃないですか。

そんなわけで、xy平面に複素数の実部と虚部を、固有多項式の絶対値をz軸に見立てて、固有多項式(いわゆるA-λI、固有値方程式を移行して=0を取っ払ったやつとも同じ)のゼロ点を表示させたのが図なわけです。


ゲルマン行列はSU(3)：3行3列・複素数の特殊ユニタリ群の生成子なのでグルーオン同様8種類あるわけですが、このゲルマン行列っていわゆるn-1次元の単位ベクトルみたいなもんなんで、これを2×2のパウリ行列σ1～3に見立ててオイラーの公式のように行列指数関数にぶち込むと、exp(Σiσnθn)=Π(exp(iσnθn))というユニタリ行列になりますよね。

詳しくは「数学」・「物理」・「対角化シリーズ」のカテゴリも参照ください。

総乗Πの中身が8つともユニタリなので、Πの結果もユニタリなわけですが
なるべく抽象性を損なわず、なおかつ具体性も維持しようと思ったら、図のようになったというわけです。

θ1～θ8が、1～8倍の速さで単位円周上を回っています(8つ目はθ8を√3で割らなきゃいけないのでちょっと細工してます)。
ホントは8つの偏角θを互いに素にしたかったんですが、とても捌き切れなさそうなのでやめました。
(あとから考えると捌ききれたのかもしれませんが後述のように結果オーライです)


8つもあると図がグチャグチャになるので、総乗Πの行列式(の絶対値)だけ表示してます。
やっぱりゼロ点が3つ以内ですよね。

1つ1つの固有多項式の絶対値は
1つ目～7つ目までがだいたい一律でこんな感じ(点線の方です)
1+i0にとどまってるのが1つ、時計回りと反時計回りのやつが1ペアです。
 


8つ目だけが固有値の移動方法が違って、こんな感じになってます。常に全部動いてて、常に重解なわけです。時計回りが、反時計周り2重解の2倍の速さで回ってます。
 


4×4以上の行列になってくると、こんな奇妙なのも少しずつ増えてきます。



1～8倍で動く固有値が、たった3箇所に分布するときに、総乗Πの固有値も同じあたりにいることがわかると思います。
2箇所、4箇所、6箇所に分布する際は総乗Πがあまり落ち着かない様子ですね。
もちろんただ1箇所にあつまるときには総乗の固有値3つとも重解になります。



Excelファイルはもうちょっと待っててください。まだ公開レベルまで整理できていません。



しかしなんですか、僕が指しているコレが、ユニタリ群なのか特殊ユニタリ群なのかよくわからなくなってきました。
この生成子でどんなユニタリ行列も作れるんじゃないのかなーって思ってたんですが、実際のところどうなんでしょうか。

wikiの、構造定数にはまったく触れてないし、僕自身理解してないんですよね。
もしかしてただのユニタリ群のことを言ってて、実際この生成子はユニタリ行列生成には汎用性がある(五目)という話なのでしょうか・・・わからんなあ


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