フィボナッチ数列を、フィボナッチ行列として、捕まえる。

フィボナッチ数列はよく、「漸化式は単純なのに一般式を探そうとすると複雑」な、いい例として使われます。

しかしながら行列を用いれば一般式っぽく書くことが可能です。
これはただのこじつけではなく
行列という数学の道具を用いることで、スカラー(ただの数)での一般式を導き出す手順にもつながります。


n番目とn-1番目のフィボナッチ数列をFn、Fn-1とし、列ベクトルで書くと 
になりますが、1つ次のフィボナッチ数列にするには、以下のようなルールを持たせた行列を掛け算することで変換が可能です。
 

また、これを拡張すると、最初のフィボナッチ数列つまり1番目(上)と0番目(下)のセットからn+1番目(上)とn番目(下)のセットを作り出したいときは行列A＝ をn回掛け算(n乗)すればよいことがわかります。
つまりこうです。
 


しかし、行列の掛け算は手計算でやるにはやや複雑です。
そのため、掛け算を簡易化するために固有値や固有ベクトル、対角化という行列の道具を使うと便利です。


固有値や固有ベクトルというのはなんとも説明しがたい概念なのですが
とりあえず今回は対角化(掛け算の簡略化)のための準備と認識してもらえばOKかと思います。

対角化すると何が便利かといいますと
Aという行列があって、その正体が実はB＝ という対角成分だけの行列だったらn乗するとき
 
になってさぞかし楽だろうなーという希望的観測に基づいた理論といっても過言ではないかもしれません。


これが実はできてしまうのです。

このようになる行列Pとスカラーa、bが割りとしょっちゅう存在するのです。
ここでいうaやbというスカラー(数)が固有値、行列Pを構成するベクトルが固有ベクトルと呼ばれているものです。
フィボナッチ数列の場合は2行2列の行列を扱いますが
一般にn行×n列の行列にはn個の固有値と、n列の固有ベクトルがnセットあることが多いです。


 次回は具体的に行列の固有値と固有ベクトルを計算してみます。


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