固有値・固有ベクトル・対角化。

前回は、フィボナッチ数列の行列表記を例に、対角化の利用法を見てきました。
対角化は、行列を掛け算する際の裏技のようなもの、といいました。

固有値と固有ベクトルは、その対角化を行うための準備とも書きました。

それではフィボナッチ数列の行列を例に、具体的に固有値と固有ベクトルを計算してみましょう。

まず、固有値の定義はこうです。

Aという行列があったとき
|A-λE|=0となるλが固有値


Eは単位行列で、中身はコレ です。数字でいうところの「1」のようなものです。
何回かけてもEのまま、逆数に相当する逆行列もEそのものです。EじゃなくてIと書いたりもします。

ではA-λEの両脇の｜｜は何かと言いますと、これは囲まれた中身の行列式を計算するという記号で
行列式自体はスカラーです。デターミナントと読んで、det(A-λE)とも書きます。

行列式の説明は少し後回しにして、A-λEを実際に計算してみますと

こうなります。

この行列式を求めるのですが、2行×2列の行列式は割りと単純で

右下斜め掛け算－左下斜め掛け算

というスカラー量、つまりただの数になります。


これが=0になるλを求めるわけですから、あとは2次方程式です。

このφ1というのは黄金率です。φ2はオマケのようなもので、2次方程式の解と係数の関係から
φ1φ2=-1(方程式3項目の係数)とか、φ1+φ2=1(方程式2項目係数の符号反転)とかいう関係があります。


固有値に関しては以上です。



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次に固有ベクトルの話に入ります。
固有値λ1とλ2を実際にA-λEに入れてみて

となるようなxとyの比を求めます。

この際、連立方程式のようになりますが、この2つは同じ式で、いわゆる永年方程式になるので、具体的にxがいくらいくら、yがいくらいくらとは求まらず、比しか求まりません。
というか、固有値を求める作業自体が永年方程式を作ってるようなものなのです。

λ=φ1を代入してみますと、以下のような行列方程式になり

このような等価な2つの連立方程式(永年方程式)になるので(解と係数の関係を思い出して確認してみてください)

xとyからなる固有ベクトル(列(縦)ベクトル)は１：－φ2から上のようになります。


また、固有値にλ=φ2を代入した際の固有ベクトルは以下のようになります。式変形はほとんど同じなので略します。


この2つの固有ベクトルを横に並べたものを随伴行列と呼んでPという記号で表します。

 

固有ベクトルを求める際に、xとyの比しか求まらないと言いました。
ということは片方の固有ベクトルのxとyの符号を反転して
 ①
こうしたり


あるいは両方とも符号を反転して、こうしても問題はありません。

ですが筋は最後まで通してください。
これらの随伴行列は左側にφ2がきていますが、固有値はφ1が最初(大きい方)で次がφ2(小さい方)
という約束の元で行っています。
それと同様に、勝手にルールを決められるからこそ、同じ約束事で筋を通さないと間違った結果になってしまうのです。

また、これらのベクトルはノルム(ベクトルの向きを無視した大きさや絶対値のようなもの)を1にしていません。(ノルムを1にするとルートの中にルートが入ってしまって面倒なのです＞＜)
このノルムを1にする＝規格化という作業もするかしないかも自由ですが、筋は通してください。


このあと出てくるPの逆行列P-1のところで重要になってくるのです。



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今後、印をつけた①にしたがって進めていきます。(都合上、左上プラス、右上がマイナスのほうがいいのです)
①のPの逆行列P-1を求めるのです。

逆行列の求め方はこれを読んでいる方はもうご存知かと思いますが
2行2列の場合は
 
・対角成分(右下がり)は入れ替え、
・そうでないもの(左下がり)は符号反転して
・全体を行列式(デターミナント)で割ります。
 

このPの逆行列を求める際に、①で決めたルールなのかなどというのを守っているのと守っていないのとで結果が違ってくるのです。



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しまいに
随伴行列のPとP-1が出来上がったら、P-1・A・Pの掛け算をしてみてください。

  
計算結果が2つの固有値で対角化されているのが確認できればOKです。
左上から右下にかけて、φ1(大きい方)→φ2の順番になっていることも確認して下さい。逆はダメです。
※PAP-1ではなくP-1APです。これも順番に気をつけてください。行列の掛け算は順番を気にします。
スカラーは順序気にしません。(√5など)



 次回はいよいよ、フィボナッチ数列の一般式を導出して、対角化の有用性を話してみたいと思います。



まとめ。たのしい！

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