対角化の威力でフィボナッチ数列の一般式に迫るｩ～

こんばんは、対角化シリーズ最終回、のつもりです。

初回は、行列表現したフィボナッチ数列を例に、行列の対角化がどんなものなのかをざっくり説明しました。行列同士の掛け算が簡易に行える裏技だと書きました。

つづいて前回は、対角化のための準備である固有値と固有ベクトルについて、フィボナッチ数列の行列表現を例に具体的に計算してみました。

今回は、その対角化を使って、フィボナッチ数列の一般式を導出して締めることにします。


フィボナッチ数列を行列表現した要となる行列A=
を対角化すると、固有値φ1=(1+√5)/2とφ2=(1√-5)/2、そして固有ベクトルからなる随伴行列Pを

を用いて行列Aを対角化すると


こうなることはわかいましたが、だから何なの？と思う方もいるかもしれません。
僕は思ったんですけどね。＾；

この式の両辺に右からP-1を、左からPをかけるとどうなるでしょうか。
Pとその逆行列が約分？されて


このようになることがわかるかと思います。

さて、フィボナッチ数列そのものは、

このように書くことができました。

あとの都合のために、n+1をnに、nをn-1に置き換えて

こうしておきましょう。
この、 が行列Aなので、対角化したものを代入すると


このようになるはずです。

どうも、随伴行列は自分自身の逆行列と打ち消されてべき乗しても形が変わらないようなので

このようにn-1乗は対角化した行列のみにかかってくるようです。

また、対角化していますので行列といえどもべき乗は簡単で、そのまま対角成分のべき乗と書くことができます。

 

これが対角化の威力です。

つまり、フィボナッチ数列の行列表現は

これに帰着でき、もはや手計算で行えてしまうのです。


最終的に行列の上のほうだけわかればいいので、赤で囲った部分にだけ注目し
以下の様な一般式に無事、終着するわけです。＾＾



お疲れ様でしたｍｍ



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