量子井戸(井戸ポテ)問題

無限深量子井戸の問題は試験時間内に解ける容量なんすよ。

ところがこれが有限深井戸型ポテンシャルの波動関数となると意外とキツいっすねえ＞＜


図のようにxが±aの外側ではV0、内側では0であるポテンシャルVを考えるわけですが
V0が有限の値なので、波動関数ψは±aの外側では完全にゼロにはならず
少し染み出した感じになります。


時間に依存しない1次元のシュレディンガー方程式は


なので、

井戸の外側では(ħk1)^2=2m(V0-E)と、内側では(ħk2)^2=2mEとおいて以下のように波動関数を指定して、

・井戸の左側x<-a：ψ1=Aexp(k1x)　(x→-∞で発散しないように、exp(-k1x)の項は設けません)
・井戸の中-a<x<a：ψ2=Bcos(k2x)+Csin(k2x)
・井戸の右側a<x：ψ3=Dexp(-k1x)　(x→∞で発散しないように、exp(k1x)の項は設けません)



・ψ1(-a)=Aexp(-k1a)=Bcos(k2a)-Csin(k2a)=ψ2(-a)
・ψ3(a)=Dexp(-k1a)=Bcos(k2a)+Csin(k2a)=ψ2(a)
・ψ'1(-a)=k1Aexp(-k1a)=k2Bsin(k2a)+k2Ccos(k2a)=ψ'2(-a)
・ψ'3(a)=-k1Dexp(-k1a)=-k2sin(k2a)+Ccos(k2a)=ψ'2(a)

という、井戸の端での波動関数自身と、その1階微分が連続(なめらーか)であればいいという境界条件を解くわけです。


ただ、これだと式未知数4つにつき式4本になってしまいます。
これではよくないのです実は。

最後に波動関数ψの絶対値の2乗(存在確率)を全位置xで積分して1にする
(探し物はどこかにある。見つけにくいものでもどこかにはある！)
という、5本目の規格化条件が揃って初めて、4つの未知数A、B、C、Dが定まるようにしないといけないため

この連立方程式を紙一重で永年方程式、つまり解けないように条件を決めなくてはいけません。


連立方程式をいじっていると堂々巡りが始まるので
ここは行列方程式にして、行列式をゼロにする条件を解くことにしましょう。




の、
が0であればいいのですが(逆行列がなくなる→方程式が解けなくなる)

せっかくゼロが4つもあるので、複線型交代形式を使って、なるべく簡単な形に落とし込んでおきましょう。

めんどくさいのでsin：s、cos：s、exp：eで略記しちゃいます


2列目と3列目を交換して


2行目から1行目×k1を引いたものを2行目に代入し


ゼロがフィーバーした列をぷよぷよします。


2行目×k1から3行目を足して3行目に代入、


3列目がフィーバーしたのでまたぷよります。




1行目と2行目を足して2行目に代入したらまたフィバるのでぷよするとそのまんまただの数(スカラー)になっちゃいます

expの項はどこまでいってもゼロにならないので両辺割ってちまいますと


k1cosk2a=k2sink2a

の条件が求まることがわかりますね、わかります。






この条件は合っているでしょうか。
確認のため、V0→∞の極限で、無限深井戸型ポテンシャル問題に一致するかどうか確かめてみましょう。


無限深量子井戸問題の場合は
素直に井戸の外でψ=0であるというのが条件なので
ψ=Acoskx+Bsinkxとおいて
ただし(ħk)^2=2mE

ψ(-a)=ψ(a)=0の条件を
永年方程式にすればええねん
Aだけが定まる式にするためには
sinkx=0の条件を

Bだけが定まるには
coskx=0の条件を解けばいいため

それぞれ
ka=(n+1/2)π
と、
ka=nπ
が固有状態になる条件であるといえます。(※ただしnは整数＜イケメン＞に限る)

ψ=Acos((n+1/2)πx/a)あるいは、
ψ＝Asin(nπx/a)
と求まり、∫_-∞^∞|ψ|^2dx=1になるようにAを定めればいいわけです




有限深さ量子井戸問題の場合の条件は
k1cosk2a=k2sink2a
でしたね。
ここで、V0を無限大の極限に持ってくるというのは、井戸の外の波数k1(っちゅうか減衰率)を無限大に持ってくることに相当するので

今の式を両辺k1で割って
cosk2a=k2sink2a/k1=0としますと無限深問題の2つの条件のうち1つが求まります。
ka=nπです。

また、
さっきの式を両辺k1sink2aで割って
1/tank2a=k2/k1にしてからk1→∞にもって行ってみましょう。
tanなのでk2aがπ/2からπごとに∞になるので0=0で式が成立していることがわかると思います。
これがもう1つの条件、ka=(n+1/2)πです。





実際にA、B、C、Dを解析的に求めるのはちょっと疲れたので後回しにしたいと思います。
いつになるのかは不定(0/0)です。
とりあえず固有状態の条件が求めたかったので
あとは数値解析することにします＾＾


苦節3～余っ暇･･･疲れました

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あ

※20130118訂正
最後の最後で式展開間違ってますね＞＜
なにやってんですかね自分

exp(-2k2a)(k1cosk2a-k2sink2a)=0　（ｷﾘｯ

じゃねーよ

2exp(-2k2a)(k1cosk2a-k2sink2a)(k1sink2a+k2cosk2a)=0

こうだろ･･･orz

つまり2つの括弧内の条件
k1cosk2a=k2sink2a
と
k1sink2a=-k2cosk2a

のどちらかが成り立てばおｋってわけっす



※20140423追記

やっと出来ました！ずっとやりたかったことの1つが叶いましたよ～！！！

28秒付近で符号間違えたのはすみません＞＜

先頭から数えて偶数番目(amnだったらm+nが奇数の時)がボンバーするときは符号反転するんですよ。