特殊ユニタリ生成子SU(3)の特性方程式を解析計算

これ過去にどこまでやったっけ？

λ^3-λ+a0=0のa0を解析的に定められたかどうかよく覚えてないんだけど。

まあとにかく出た。
なんか意外と簡単だったのは、レベルアップで簡単に思えてきたのか、それとも実際に簡単だったからすでに計算を終えているものなのか。


このように、1つ目から8つ目までのsシリーズを、2乗和(ノルム)が1になるように定義し、
複素数a,b,cと実数x,y,zを定義して

このような特殊ユニタリSU(3)生成子いわゆる「ゲルマン行列の和」(エルミート)の中身に設定すると

この生成子の固有値λを求める特性方程式は以下のようになります。

もちろんアスタリスクは複素共役を表します。




ここで、大文字は小文字の絶対値の2乗を意味します
例：A=a×a*

が、c()の意味するコサインの中身においては複素平面での極座標表現における偏角を意味します。
また、コサインの中にたとえばA-B+Cが入っているなら
ルートの中身はABCとなり、√(ABC)という意味です。もちろんコサインの外の大文字は偏角ではなく絶対値のほうです。


wolframalphaとExcelで確認(λ=0つまり生成子そのものの行列式)して、どうも合っているようです。
3次行列まではサラスの方法が有効なので、勉強中のscilabの出番はまだないんですよ＾＾；


多項式はちゃんと、x軸と交わるのが1～3個となっていて、0個にはなりません(接するときは2個の重解、必ず多項式がx軸と「交わる」か「接します」)。


3次方程式を用いる方法や、多項式の1階、2階微分を用いて分析することが可能でしょう。
a0という上下平行移動の項しかないので、この最小値と最大値を解析的に求めることが可能になりました。



できれば行列指数関数の形まで持っていきたいですねえ
固有値が求まったら、次は固有ベクトルになりますか～


あ、でもそういえば、固有値は、一定半径の円のコサイン成分という影を見ている
って結論づけられたんでしたっけ。

じゃあ、a0が解析的に求まって、改めてやることは、その円が「どのくらいの角度だけ回転しうるのか」くらいしかないのかな？