備忘録：仮説

やっぱり未規格化状態のSU(2)生成子の固有値の概念は
規格化したあとのSU(2)生成子の固有値同様に価値があるような気がしてきた。

結局n=2でもn=3でも回ってる円のコサイン成分なんだ。回ってるんだよ。
それが、n=3だと回れば非対称になるのに対して、n=2だと対称にしかならないっていうのは大事なことだと思う。

これが、規格化されてしまうと半径が一定になってしまって目に見えにくい。
SU(4)を考えるうえでも、もしかしたら道しるべになるかもしれないし。


ああ、そういえばSU(4)は4次方程式だけど、極大・極小を考えることはたぶん大事で
そういう意味では3次方程式になるね。

ということはSU(5)も部分的に4次方程式にできるから、まったく解析ができないわけでもなくなる

n-1次の係数が0で、n-2次の係数が-1な理由がなんとなくわかってきた。

n-2次が-1なのは規格化のせいというのはノルムの次元解析の観点からもう知ってる。

n-1次はトレースが関係している。そんでもって、n-1次になりえる要素は対角成分しかありえない。対角成分同士の積(x1-r)(x2-r)・・・(xn-1-r)(xn-r)からしか生じない。

だから、特殊ユニタリSU(n)の生成子から得られるn次多項式のn-1次はΣ(xn)つまりトレースでいつもゼロなんだ。



それと、SU(n)においては、計算をかなりモジュール化・ブラックボックス化して見られる部分が多そうな気がする。
いちいち中身を気にする必要がない。

たとえば、エルミートの固有値が実数であることを既知の事実とすれば、
生成子の固有値を解析的に計算する意味はほとんどなく、数値計算で間に合うということだ。
r^4-r^2+a1*r+a0=0のa0、a1の中身が生成子の中身とどうつながるのかとか、ぶっちゃけどうでもいい。

ただ、実数であるには何が必要か、その要請からほとんど、あわよくばすべての分析が可能。

固有値そのもののn次方程式にしても
極大・極小のn-1次方程式にしても
実数であるために、3次方程式の解の公式の、複素共役である要請が役に立ったりする。




あと、これもなんとなくだけど
量子力学でジョルダン標準形がほぼ不要なように
これまでグラムシュミットの正規直交化法を聞いたことがなかったことにもたぶんそれなりの理由があって
ほとんど出番がないからだと思う。


SU(3)の固有ベクトル、出したいなぁ。行列指数関数も解析的に出したいなぁ
どんな形してんのかなあ
SO(3)が2つとSU(3)が1つがネタバレだっけ？
導きてえ～
固有値が3つってことから、たぶんs1～s8の8つも変数がいるような鬼畜仕様にはならないと思うんだ

wikiの「クォーク場に吸収される」がまったく意味わかんないけど
数学だけでなんとかなんねえかなあ。