SU(3)の生成子の固有値から出した固有ベクトルの規格化がめんどい

 先日までの日記参照



これを規格化ってのはなかなか死ぬる・・・。

まあ、各変数を一様乱数使って割り当ててるから、めったに固有値がカブったり
固有ベクトルの一部が本質的にゼロになったりはしないので
ジョルダン標準形やグラムシュミットの正規直交化法を使う必要はほとんどないんだけども
それでもかなりめんどい。


なにか近道はできないものかと考えて、ちょっと思いついたのは
この行列Pの「逆行列がPのエルミート行列そのもの」であることを使うこと。

つまりEを3次の単位行列として、PP†=Eのことなんだけども

この内訳を考えると

こういうことなので総和記号を用いて、以下のように、l行目k列目の要素は

といえる。
また、l=kのときは1、それ以外はゼロなので、クロネッカーのデルタを用いてこのようなこともいうことができるし

複素内積(u,v)を

このように定義すると

たったこれだけで記述できてしまう。




ここで、今回は行列指数関数を求めたいんだった。

間にこのような、対角行列の指数関数が入ってしまうので、さっきのように簡単にはいかないが、楽をするヒントは得られそうだ。

つまり行列指数関数expの各要素elkは

とできそうなので、
少し計算を省けそうなのだ。

 
この2つの式を用いると

l=kの場合は

なのだし、vl3はlが1から3まで実数なのだから
|vl2|^2が逆算できて、

少～しだけ手間が省けるし、δ=0になる非対角要素も


これを逆算して

さっきよりももうちょっとだけ大掛かりに手間が省けそうだ。

ところで、Σ(λm)=0なのだが、3つではなく実質2つのλで構成された行列指数関数になりはしないかと若干心配だったりする。