パウリ行列御用達ユーザー定義関数3

またまた昨日の続き。
 
今更気づいたんですが、
 
そもそもこの回転のための行列自体、
A=
パウリ行列Aにどうやって作用させればいいんすか・・・

せっかく用意したのに出番がわからない・・・orz
なんか堂々巡りしてるみたいでいやだなぁ（；ω；）
といいますか、リボってるよ！リボる爺だよ！最近のことからすっぽり忘れてる気がしますよ！！



＝＝＝＝＝＝＝＝
それはともかく、
パウリ行列の指数関数exp(iΣσnθn=exp(iA))、昨日の晩にようやく計算過程まで整備したんで公開します。


まず指数関数の中身、A=Σσnθnを対角化するとexpに入れやすいわけですが
 
これには固有値・固有ベクトルが必要ですので、固有値と固有ベクトルを求めましょう。

まず固有値λは、

det(A-λE)=0

となるスカラー量λが定義です。
detは行列式、Eは単位行列を意味します。

 
解くと、λはrを
 
として(θってつけるの忘れた)、λ=±rが得られますので、(ほらぁ！エルミート行列の固有値が実数でしょ！？)
λ=rの場合と、λ=-rの場合とで、固有ベクトルを求めます。


固有ベクトルは

(A-λE)v=0

を満足する縦ベクトル のことです。
今回の場合は2本の連立方程式が、必ず永年方程式の形で現れるので、具体的なv1とv2は求まりません。
したがって、v1とv2の比がわかればokとします。

(θ_x+iθ_y)v₁=(θ_z+r)v₂

が得られるので
 
となります。


同様に、λ=-rの場合も解きますと
 
が得られます。


この2つの固有ベクトルを横に並べると

このような行列になります。これを慣習的にPで表します。

のちのちのために、Pの中身をa,b,cで簡略化しておきましょう。


ここで、Pの逆行列P^-1を求める作業に移ります。
2行2列なので単純です。Pの行列式を|P|とすると
 
行列式は|P|=a(b-c)です。


このPとP^-1を用いて、
P^-1APと掛け算することにより、
対角成分しか存在しない行列の計算が可能になります。また、対角成分は先ほど求めた2つの固有値となります。
 
これは以下のgifアニメに示すように、行列のべき乗Aⁿに大変有効です。

両辺に右からP^-1を、左からPをかけることで
Aⁿ=PDⁿP^-1となるからです。



行列指数関数においても例外ではなく

 
こんなんでましたけども！




＝＝＝＝＝＝＝
うっかり前置きが長くなってしまいました。いつもの癖ですね



|P|の中身を代入してaで約分し、
  
 
これから、a,b,cの中身を代入するのですが
bc/aというのはどのように計算されるのかといいますと

bc=(θ_z+r)(θ_z-r)=θ_z²-r²

なんですがこれは、θ_z²-(θ_x²+θ_y²+θ_z²)なので

bc=-(θ_x²+θ_y²)

なのです。

さらにこれを、a=θ_x+iθ_yで割るのですが

(θ_x+iθ_y)(θ_x-iθ_y)=θ_x²+θ_y²なので、
bc/a=-(θ_x-iθ_y)であることがわかります。

さらに代入して整理すると、結局このような形になります。

 
ただし、θはrのことで、(最初からθって書いてればよかった＾＾；)
Lx,Ly,Lzはそれぞれ、θx/θ,θy/θ,θz/θといった、θのノルムで規格化された角度のことを言います。

もちろん、パウリ行列系座標系Σσnθnは
 のエルミート行列です。



＝＝＝＝＝＝＝＝
θx=θy=0のz軸のみの回転のときと
θy=θz=0のx軸回転
θz=θx=0のy軸回転のときのこの行列が、それぞれ
 
こうなることと、

 
となることを利用して(*印は複素共役)、行列式が1になる(ユニタリ)ことを、暇があったら示してみなさい＾＾




お疲れ様でした

にほんブログ村