パウリ行列のミョーな感じをつらつらと書き連ねる日記

慣れてしまえば当たり前に思っちゃうかもしれないので馴染む前に書いておきます。
パウリ行列が３次元や４元数の単位ベクトルや虚数単位のように振る舞うことに
いまいち共感がモテません。



i、j、kはそれぞれx、y、z軸の単位ベクトル、つまり基底で
パウリ行列のσ1、σ2、σ3にそれぞれ相当するんですけど
どうして純虚数を含む行列が１つだけなのか
そもそもどうして単位行列による表現の他に行列による表現方法もあるのか納得できません。


2×2複素行列で、係数に0か1の自然数しか含まない行列っていうと
単位行列とパウリ行列以外には

 
まずこんなんに±1や±iをかけたものが挙げられますが、逆行列がないので論値です。

次に0じゃない成分を2つにしてみますと
 
このように、a=±1か±iが入って、行列全体に±1か±iをかけたりもできますが
所詮片側に0が入っている時点で逆行列が存在せず、これも論値。


じゃあこれならどうだ！？っつうと
既に単位行列かパウリ行列に予約されています。
予約されていないのを挙げますと
  
こいつらはエルミートじゃないのでダウトで

こうしてもただのパウリ3とパウリ0の純虚数倍ってだけです。ありがとうございました。

残ったこいつもただの歪エルミートですまたのお越しをお待ちしております。(出直してこい)


有限要素を3つに増やしてみましょうか。
あー・・・もう面倒くさいので一般化しましょう


まず、求めたい行列HUがエルミートであると仮定すると
a,bを実数、zを複素数(z*はzの複素共役)として
このように表せます。
 
なおかつユニタリであるためにはHUとその随伴行列HU†
つまりHUを転置して複素共役を取ったものとの積が単位行列でなければならないので
 
以下の連立方程式を満たすa、b、zの組でなければなりません。
 
aとbは実数で、かつ0か1の係数しか取れないため、±1というそれぞれ2つの自由度を持ちます。
zは複素数でかつ、これも0か1の係数しか取れないため、±1か±iしか取れません。

しらみ潰し的にやってもいいですが、ロジックでやろうとしますと

a=0の場合は|z|^2=1になるためbもゼロになります。
ここで、a+bがゼロなので
下2つの式同士を引き算すると
z*-z=0という式が出るため
zは純虚数ということになります。つまりa=b=0とz=±iの可能性です。
これはパウリ行列の2つ目に相当します。


また、a=b=0とすると下2つの連立方程式同士を足してもいいので
2(a+b)(z*+z)=0も成り立ちます。
この場合はzは実数となり、これはパウリ行列の1番目に相当します。


a=1の場合はz=0なので、b^2=1となり、b=±1です。
これはパウリ行列の3番目と0番目(単位行列)に相当します。
a=-1の場合も同様です。



つまり、エルミートでありなおかつユニタリである単位的な2×2行列を求めようとすると
4つセットのパウリ行列でキッチリ過不足ナシなのです。
もしこの事実を疑うのであればエルミートとユニタリのあり方界隈から疑うことになってしまいます。
でもなんか納得ｲｷﾏｾﾝﾖﾈｰ

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