ベクトルとクォータニオンとパウリ行列とガンマ行列とガンマ関数と次元のミョーさとセカイの支配構造についてぶつぶつ言う

 
ある日のことです。パウリ行列同士の掛け算をしていたのです。
たとえばσx・σyをしたらiσzと、純粋にσzになるんじゃなくてiがかかるんですよ。純虚数なんすよ。
あれぇ～？って思ったんです。

x方向の単位ベクトルIとy方向の単位ベクトルJをかけたら単にKじゃないですか。
iKじゃないじゃないですか。


なんで虚数単位iがつくんだろう？
と思って試しに、σx＋σyとσxを掛け算してみてわかったんです。


あ、そうだ思い出した
σx同士の積つまりノルムは単位行列E。つまり実部のみ。


ってことはですよ
実部が内積(スカラー積)で、虚部が外積(ベクトル積)なんですよ。


あーこれはどこかで見たことがある。
4元数、クォータニオンですよ！


クォータニオンのI、J、Kは単位ベクトルではなく3つとも虚数単位で
I・J=-J・I=K
J・K=-K・J=I
K・I=-I・K=J
で、ある意味虚数単位がかかった単位ベクトルといえるかもしれません。
(虚数単位自体が単位ベクトルのようなものになっていますが)


しかし通常扱うベクトルと異なるのは
I・I=J・J=K・K=－1なのです。
1ではなくマイナス1なんです。
ここはパウリ行列とも符合が異なりますね。
パウリ行列だと σx・σx=  σy・σy=  σz・σz=+E
ですからね。


クォータニオン：
I・J=-J・I=K
J・K=-K・J=I
K・I=-I・K=J


パウリ行列：
σx・σy=-σy・σx=iσz
 σy・σz=-σz・σy=iσx 
 σz・σx=-σx・σz=iσy 
と、虚数単位がつくのにも注意なんですよ。


しかしパウリ行列とクォータニオンが類似していて従来のベクトルと異なる点は
内積と外積を両方含んで（元は複数ですが）1つの計算結果として表すことができる点です。
だからベクトルと違って割り算もすんなり計算できちゃうんですよ。(有理化が必要でしょうけど)


つまり、任意のパウリ行列(t1;V1)と(t2;V2)で表したもの(V1とV2は普通のベクトルと考えていいです)
の積が

なのに対して

任意のクォータニオン(t1;V1)と(t2;V2)同士の積が

こうなって、微妙に係数(虚数単位)や符合が違うんですよ。
それ以外はそっくりなんですけどねぇ。
結論：ベクトルとクォータニオンとパウリ行列系は全部微妙に違う。

というか、パウリ行列とクォータニオンの関係がやっとわかってきました。
単にざっくり似てるって意味だったんですね。

「直交関数とベクトルの直交」に似たような数学的ざっくり感ですね。



＝＝＝＝＝＝＝
 
にしてもミョーに思うのは、なんで1つハブられながらも4つワンセットでｱｯｶﾘｰﾝなのかってことですよ。
3次元空間(4次元時空)を強いられてるんですか我々は？
物理が数学に強いられてるんですか！？
2行2列の中に複素数を入れて4元数っぽいのもなんっか変ですし
この実数や単位ベクトルみたいなオマケは一体なんなんですか？
時間でいいんですか違うんですか。

 
ガンマ行列や計量テンソル見てても思うんです。
時間が空間とちょっと異質なのはどこからなのかと。
パウリ行列の時点で既にあなたとは違うんですって主張してるのか
それともガンマ行列の時点で主張してるのか


「仮に5次元に住んでいる人がいてこれを5次元人だとしましょう」
って仮定がそもそも成り立たねーし！そんなもしもはない！存在しない世界なんだぁ・・・ってことなんすかどうなんすか！
にしてはガンマ関数は非常に具体的に高次元を匂わせますよねぇ・・・セカイは人類をぬか喜びさせるのが好きなの？

にほんブログ村