ラングランズ双対性

双対性と聞いてふと思い出したんだけど、そういえばプラトン立体にも双対性があったね。

もしかして、双対性は入れ子になっているんじゃないだろうか。

双対性の糸口を解くのもまた、双対性だったりとか。


そういえばsu(3)とかいうやつの名前の由来が最近わかった。
sはスペシャル特殊
uはunitaryユニタリ
oはorthogonal直交

だから、ゲルマン行列のsu(3)はやっぱり「ただの」ユニタリ群ではなく「特殊」ユニタリ群らしい。

何が特殊なのかというと、どうも裏返せないとかそういうところらしい。
ゲルマン行列でぐぐると一緒に構造定数ってのが出てきて「なんだろこれ？」って思ってたんだけど、裏返せない部分の条件とかそういうことかもしれない



どうも、su(n)はu(n)の部分群らしいから、パウリ行列をn×n次に拡張した生成子だけでは、すべてのユニタリ行列をカバーでいないのかもしれない。


それから、suをsoにすることは生成子を複素数から実数に狭めることなのかなって勝手に思っているんだけど、so(2)でぐぐっても平面の回転行列は出てこないみたいに見えた。




su(2)が弱い相互作用に関連してて、生成子がおそらくパウリ行列そのものなのだとしたら、やはりスピンに関する物理現象とつながっているように思える。アイソスピンあたりだろうか。
スピノルとも関連あるかもしれない
 

su(1)ともso(1)とも呼ばずにu(1)と呼ぶのは、それだけの自由度がないからじゃないかな
複素数にしたり、裏返したりするだけの自由度がたぶんない。
(1次元じゃないの？というか行列ですらないような）



数学にはsu(n)やso(n)が無数にあるはずなのに物理現象に存在しないのは、まだ出番がないか、出番が終わってしまったかだと思う。
真空の相転移が起きれば出番のチャンスがあるかもしれない

 
それにしても、数学ガールのフェルマーの最終定理のクライマックスには驚いた。
ことを思い出した。




あんなやぶ蛇、「円錐曲線の切り口」の比じゃない。
いったいどうやったら任意のモジュラー関数と任意の調和解析の関数を対応できるんだ！？
何かコツがあるのか、あるいはまだないのか。

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