SUとSOとUとOとS、とｎ

もっとはっきり書いてくれればいいのに。

カルノー図にまとめてみたよ！※あぽんぐではありません



n次(n行n列)のユニタリ群Uは行列式の絶対値||U||が=1で、
特殊ユニタリ群SUは行列式そのもの|SU|が=1の単位円周上で

回転群Oは中身が実数(複素共役取らずに転置しただけで逆行列になる)で、||O||が=1(つまり|O|=±1)
特殊回転群SOは中身が実数かつ|SO|が=1


だからなんだ、その

特殊回転群と回転群の違いはあまり実りのない概念なんだよな・・・
行列式が+1か-1しか選べないのと、+1だけの違いだからねえ


やっぱり僕が以前注目してた、パウリ行列やゲルマン行列が生成子となって指数関数の肩に入ったアレは、ユニタリ群ではなく特殊ユニタリ群でした。
そういえばパラメータをランダムに回している最中ずっと、行列式の絶対値ではなく、行列式そのものが1+i0のままってのが気になってましたね。


それで、じゃあユニタリ群であって特殊ユニタリ群ではない具体例を探そうと
生成子でもないかと探していたんですが
これがどうも見当たらない


ただ、2行2列を例に考えると、まあ確かにそういうやつらが存在することはわかりました。




先日、数学の番組を見ていて、SU(2)がSO(3)と対になっているっていうのをなんとなく聞いてたんです。
聞いてた最中はSUとかSOとかOとかUとかSとか、なんかアパートの部屋番号みたいで覚えづらい以前に読みづらい名前だなぁって思ってたんですが、いやそれは前からずっと思ってて、それがぐぐる妨げになっていたんですが

やっぱり受動的な授業はいいですね。すっと興味が持てました。


きっとS,O,U,ｎってのがアレやコレだろうって思いこむのはいいんですが
群って概念について知った際、なんだこの分類方法ふざけてんのかって思ったらガチだったので
警戒していたつもりだったんです。



と思って調べたら、その対って僕のブログにめっちゃ親近感あるやつらじゃないすか！！！


まさか、SU(2)がパウリ行列で作った3次元の表現形態(クォータニオン)で
SO(3)が高校とかで習う普通のベクトルのことだったとは・・・！
まあ主に回転の話なんですけどね。ロドリゲスの公式(回転行列)界隈の。


だからその、あれです

プログラミング恐怖症の僕はマクロなしのExcelでなんでもやりたがるんですが
抽象クラスが作れないんです
だから、クォータニオンのオブジェクトを作る代わりに、既存のエンジニアリング関数の複素関数群と複合参照で複素行列の演算を疑似構築して、パウリ行列にすることでクォータニオンもどきの3D回転システムを作った感じのアレです


※間違えました訂正

小林益川理論を一言でいうと
8つのゲルマン行列σnを生成子とした特殊ユニタリ群SU(3)それぞれの行列式は1+i0なのに固有値は実軸対称の複素共役なのに
exp{iΣ(σnθn)}の行列式は必ずしも1+i0にならない(固有値が実軸対称の複素共役にならない)
 これ↑も違いますね、σ8の固有値が単独ですでに実軸非対称でしたねすみません
 
それでもやっぱり、σ1からσ7までを合体させたとしても、単独では対称でも合わせると非対称ってのはあるんですね
といった感じでしょうか？

SU(2)では対称だけど、SU(3)なら非対称になるよねヤッター！みたいな？

たぶんだけど。

あ、そういえばSO(3)では対称なのは調べましたが、SU(2)ではまだ調べてませんでしたね
いやでも同じなんだから対称なのかな？


不思議なのは、対称性の自発的破れが弱い相互作用で起きているのに
どうして強い相互作用であるSU(3)を相手に計算して非対称だ～とか言ってるのかってことです
テレビで、弱い相互作用はSU(2)って言ってたんですよ


電磁気はU(1)って言ってましたね。
SU(1)はやはり存在しないのですか。生成子の作りようがないですもんね
特殊ではないユニタリ群なんすね
単振り子における疑似的1次元みたいな意味ですかね。巡回群とか言ってるし


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