ロドリゲスの回転行列、どうしてこうなった１？

ベクトルv(vx,vy,vz)として

 
Rをこのように定義すると

任意の回転軸での回転行列が

M=I+Rsinθ+(1-cosθ)R^{^2}

で表されるんですが、どうしてこんな３項のくっそ汚い感じになるのか気になりつつも
導出なんてとてもとても・・・と感じていた方がいないわけではないと思うのです


実は奥さん、このM、M=exp(R)なんですって！


指数関数をテイラー(マクローリン)展開しますと
exp(x)=∑(x^n/n!)

になりますよね

これを応用すると、指数関数の中身がスカラーxではなく行列Rになってもなんとかなります。

exp(R)=∑(R^n/n!)

なんてこたない。



では実際に、行列指数関数の関係を用いて、ロドリゲスの回転行列を導出してみましょう。

と、その前に下ごしらえ。

ベクトルvを大きさ|v|と向きnに分解しておきます。
大きさは、|v|=θ=√(vx^2+vy^2+vz^2)となって、
nはn(nx,ny,nz)という単位ベクトルとなり
v=|v|nという関係があります。
ちなみにnは単位ベクトルなので、nのノルム(長さ)nx^2+ny^2+nz^2は=1です。

 

R/θ=rと定義すると

M=exp(R)=∑((rθ)^n/n!)

となります。



もしかしたら、Rを２乗した時点で何か気づいた方もいるかもしれません。
僕はそれ以上気づきませんでしたorz

小文字のrを３乗すると、r^3=-rと、１乗に戻るのです。これはテイラー展開に使わない手はないですね！
あーくそ、固有ベクトル求めて対角化しようとしてた自分がアホみたいだ・・・


総和(級数)をもう少し具体的に記してみましょう。

 
このように、行列rの2乗と1乗の項が交互に現れることがわかります。
そこで、1乗と2乗に仕分けてみますと


はっきりと、θの奇数乗と偶数乗に別れることがわかるかと思います。
また、今度はプラスの符号とマイナスの符号が交互に現れることがわかりますね

この級数を、一般化してみましょう。


このようになるはずです。

この級数、どこかで見覚えがないでしょうか？



三角関数のsinとcosですよね？
ただ、総和の最初の添字が1つずれています。
そこで、n=0番目の項=1を足し引きしてみますと、しっかりとコサインになることがわかるかと思います。



これにて、ロドリゲスの回転行列は完成です。



ただ、疑問は残りますね。

どうして、この形

を肩に載せる必然性があったのかということです。
まあこのRは、固有値を調べてみると、0と±iθであることがわかりますので、
 トレース(固有和)も行列式(固有積)もゼロであることがわかります。

対角成分がゼロで、いわゆる反対称(右上が左下の符号反転)な、このような実数行列のことを、交代行列と呼ぶそうです。
エルミート行列、歪エルミート行列や対称行列とも関連が深く、

Aのエルミート共役が+Aのものをエルミート行列、-Aのものを歪エルミート行列
エルミート行列と歪エルミート行列の純虚数成分をゼロにしたものをそれぞれ対称行列、交代行列と呼ぶそうです。


このような性質の行列を肩に背負うからには、ユニタリかそれに準ずる何か、つまり、ベクトルのノルムを変えない的な変換になっていてしかるべきですが、そのへんの学習はまたこんど。



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