固有値を求めるライブラリ関数のアルゴリズムの汎用性と、高次方程式と対称・非負行列と、ジョルダン標準形

エルミート行列や対称行列の固有値を求める場合、固有値は必ず実数になる。
また、非負行列の固有値の絶対値のもっとも大きいものは正の実数となる。


これは、5次以上の行列についても言えることなので
5次以上の高次方程式にも、何らかの条件付きで解の公式が存在し
実数解を得る方法が(たぶん代数的に)存在することを示している(たぶん)



固有値を求めるアルゴリズムとして有名なのは、ヤコビ法なのだろう。
固有ベクトルもおそらくヤコビ法がメインだと思う。


が、固有値が重複した場合、ジョルダン標準形が必要となるかもしれず
ヤコビ法だけでは困難かもしれない。


ここに、ジョルダン標準形が必要になる行列を例として挙げる。
 

もはや対称行列でも非負行列ですらないので、ヤコビ法は使えないかもしれないが
ソルバーなどを使って実数直線か複素平面をてさぐっていれば、零点は見つかることだろう。
とりあえず固有値は求まる。


しかし、問題は残る。
固有ベクトルを求める方法はどうなるのだろう？

ジョルダン標準形を算出するコンピュータのアルゴリズムは存在するのかどうか知らないが
手順を見ると、えらく抽象的な内容で、これをコンピュータにさせることはできるのだろうか
と思える内容だった。


そこで、ためしに、少し行列の中身をずらしてみた。

当然、固有値も少し変化し、最大の利点は3次の行列で3重でも2重でもなくなったことだ。
ランク落ちを考慮する必要もない。と、思う

このようにすれば、ヤコビ法でも対角化可能で
ジョルダン細胞は出番すらないらしい。


行列の中身をランダムに選び、その組み合わせから固有値・固有ベクトルを算出する場合
ジョルダン標準形が必要になる確率はぐっと低くなるだろう。


もちろん、根本的にジョルダン標準形が必要な理論であれば仕方がないが
大概の数値計算において、ジョルダン標準形は避けて通ることができるのではないだろうか。


ライブラリの中の固有値・固有ベクトルを求める関数は、僕の知る限りでは
非対称行列に対応していなかった。
もしかしたらジョルダン標準形に関しても、同様なライブラリのままで、ジョルダン標準形には未対応なものが多くあるかもしれない。


昔、物理にはあまり整数論は出てこなかったような気がする。化学にはあったが。
整数論が幅を利かせだしたのは量子力学が脚光を浴び、原子サイズ以下のミクロの現象をガチで考慮し始めたあたりからではないだろうか。


もし、ジョルダン標準形や線形従属・線形独立(ランク落ちやカーネル・イメージ)といった概念が、行列における整数論のような立ち位置であるならば
まだあまり使う機会がなくてもおかしくないのではないか


ただ、べき乗がつきまとうので、チリが山に積もる危険性はぬぐいきれない。かな