太陽系はなぜ潰れないのか(エセ混じりの相対論)

どうして地球は太陽からちょうどよい距離にいるのか

高校生の時に気になっていた疑問の1つで、その後数年してから量子論を定性的に習ったのです。

定性的だった故に、もしかして地球がハビタブルゾーンにいるのは
原子が潰れないくらい必然の、量子論的理由なのではないか？

と考えたことがありました。

 
それから更に数年が経過し、当時空気も読まず先生に質問して返ってきた返答を自分なりの脳で噛み砕き
重力はほぼ万有に引力することが電磁気力とスケールを分かつ大きな要因である
ことを知って
一応は定性的に、地球がノビダブルゾーンにいることは必然ではなかった
と納得するに至りました。


しかしながら、あくまで定性的でしかなく
原子が潰れるんじゃないかという古典的・定量的な問題のソースを
ずっと探していたのです。



2006年の物理チャレンジ、理論問題に鍵がありました。
僕がこれを見つけたのはいつだったのか覚えていませんが、
しばらく机の上に紙媒体として放置しておりました。
僕はハウスダストアレルギーで、ホコリが溜まっていくと、それまで冪関数的に放置していたのが、一気に指数関数的な放置に変わるのです。



昨日、量子ゆらぎみたいな何気ない気持ちでその物理チャレンジ2006の紙を手に取り、できるところだけ計算をしてみました。
そして、解答がwebに載っているのを知ったのも、昨日でした。




加速度aで加速度運動している電荷qの荷電粒子が放射する電磁波のエネルギーは以下のようになります

 　[W]

今のところ、どういう経緯でこのような式になったのか僕はまだ導出できていませんが、
あの大物物理サイトさんでさえ大省略した途中計算が、物理チャレンジ2006では、丁寧に何ページもかけて、この式に至るまでの考え方を誘導尋問してくれるようです。


かーなーり一般性が高いようで、電荷の正負、加速度の正負や向きによらず成り立つ式らしいです。
この現象や式の名前、なんていうんでしょう？制動放射？いまいちよくわかってません
ぐぐってもなかなか見当たらないんですよ　見るたびに式が違うように見えるし



この式を、水素原子に当てはめます。
陽子から引力を受けて回転している電子の挙動に当てはめるわけです。

電荷-e、質量mの電子が、陽子から引力を受けて、半径rで回っている古典的なモデルです。

この電子が、陽子(原子核)に「落ちる」ところがいかにも古典的でありまして


電子の持っている力学的エネルギーは

 

なんですが、
速度vは角運動量ωと半径rで表すと

v=rω

ですし、

ポテンシャルは

 

また、遠心力とクーロン引力が釣り合っているので

 

これらの式から電子の力学的エネルギーは

 


となります。



では、この半径rが時間tとともにどんな変化をするのか
dr/dtを求めてみましょう。


 

となりますよね。

また、このdr/dEはエネルギーEを半径rで微分したものの逆数となります。まんまですね。


そうして式をいじっていきますと

 

という簡単な微分方程式ができます。

これを初期条件t=0でr=rb(ボーア半径)のもとで解くと

 

となるので、今度はr=0となるtを計算しますと

原子が古典的に潰れるまでの時間はt=rb^3/(3A)≒16ピコ秒くらいになります。
なんでこの数値もあんまりネットにないんだろう？原発が潰れるとかそういう検索結果はいいから・・・





＝＝＝＝＝＝＝＝＝
ここで、特に根拠もない電磁力と重力のアナロジーを使います。
クーロン力q1q2/(4πε0r^2)と、重力Gm1m2/r^2を対比させてみると

質量mは電荷qとm：qで、万有引力定数Gは誘電率εとG：1/(4πε0)

のアナロジーを、割りと誰しも感じているのではないでしょうか。


そして、電荷が振動して電磁波を出すように
質量が振動すると重力波が発生するんじゃないかなーという妄想のもと
その重力波はどのくらいエネルギーを持ち去るのか、割りと非相対論的に考えてみますと


 　[W]

との対比で

 

になるのかなーと思いつつ、
次元解析をすると、やっぱりPの単位がワットで一安心アルコールランプするわけですよ。ﾌｩﾊﾊﾊ


ただ、不安なのは、電磁場の電界に相当する重力界が、重力だと加速度そのものである(等価原理)ことで
何か変数が混じってないか？ということが多少心配ではあるのですが

ほどける方向
重力→電磁力
ならさておき

混じる方向
電磁力→重力
ならさほど心配ないのかなーとか思ったりするわけです。


途中計算は各自お願いするとして、ガリガリ計算していきますと
地球が重力波を放出しきって、太陽に落ちるまでの時間tは

 

mに地球の質量、Mに太陽の質量を代入し1天文単位をr0に代入しますと

4.3×10の23乗秒
約1京4千兆年となり、

あーやっぱり太陽系モデルの太陽系は量子論的に落ちないわけじゃないんだなー
他の理由で落ちないんだなー

って納得できるかもしれません。



※ただし、地球と太陽のスケールで行ったのは、重力が相対論効果を無視できそうなスケールかなと思ったからです。



電磁力は原子が構成されるとそれ以上のスケールでは中和されてしまうのですが
電磁力より遥かに弱いはずの重力は万有引力と呼ばれるだけあって、スケールを大きくしていっても中和されずに成長できるのが電磁力と異なるわけで
だからこそ天体スケールになって初めて効果を発揮するのですが
そのようなスケールになってしまうともはや量子力学の範疇ではなくなってしまい
「重力波を放射して落ちる」なんてことは非常に起こりにくくなるわけです。
それはもうブラックホールの蒸発並みに頻度が減るんでしょうね


相対論を一般まで数式で理解できたら
余裕があり次第、この近似式めいたものがどこまで妥当なのか、きちんと評価したいですねぇ


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