3次元での位置・運動量の交換関係

改めて計算してみるとおかしいことに今更気が付いた。
波動関数：φ
位置の演算子：x
運動量演算子：p
とすると

一次元ならこれでいいんだけど
[x,p]φ=ihφ/(2π)

3次元だと
[x,p]φ=i3hφ/(2π)
こうなりはしないかと、なんか妙だ。

位置と運動量それぞれを規格化してないせいだろうか？
たとえば位置が(x,y,z)だったら(x,y,z)/√3
運動量だったら(px,py,pz)/√3
みたいのがそれぞれ必要？？
もちろんx,y,z,px,py,pz全部ゼロでないとしてよ
(x,y,z)/√(x^2+y^2+z^2)だったら無次元になっちゃうしなぁ
どうすんだこれ
つーかゼロ以外だったら常に√3で割れっていうのもおかしな話よな。


問題は、偏微分したものを3つの次元で足してるところだ。
スカラー積x・pとかp・xのせいでこういうことが起きている。

φ∂x/∂x+φ∂y/∂y+φ∂z/∂z=3φ

これがすげー怪しいんだよ



あーもしかして、クーロンの法則の
1/r→r/|r|^2=(x,y,z)/√(x^2+y^2+z^2)みたいのを～

どうやんだ！？
わけわからｎ