ラプラス・ルンゲ・レンツ(LRL)ベクトル

さっきまで、ラプラス・ルンゲ・レンツベクトルMの定義式の

 
のっけから意味がわからんくて困ってたんです。

Mがそれぞれこう定義されるのは飲みこまなきゃいかんのですけど
この両者が恒等式で結ばれるところはやっぱ、自分で解いて理解したいじゃないすか。


別に、その種明かしをして学生さんたちに楽をさせたりとか、怠けさせたりとか
良くも悪くもそんな他意はないんです。
ただ、僕が落ち着くから書きたいだけなんです。


量子きのこ名乗ってていっつも古典古典しててすみません＞＜
なんかこう久しぶりで。スキーに似てますよね。スキーみたく何年もじゃなくて何か月程度ですが、ブランクが空いてても体が覚えてるみたいな。

まず上の式の両辺に波動関数φを掛け算しましょうか。
それから、角運動量LにL=x×p(xは位置ベクトル、pは運動量ベクトル、ともに演算子)を代入して、ベクトル三重積の結果を使いましょう。


ここで、

このようにまとめるのは構わないようなんですが
ベクトル積のある2項を、
 
と決めつけるのは早急のようです。あくまでも、ベクトルである以前に(微分)演算子としてここにいることを忘れないでください。

むしろ、交換関係の使いどころと思いましょう。


このようにすることで、交換関係を使える土台まで持って行けたので、交換関係を使うと

このようになって

一番最初の恒等式

がほぼ導き出せるというわけです。

「ほぼ」といったのは、ihp/(2π)の係数が2ではなく1のままであるということですが
なんでしょうね、学生時代、「ハイゼンベルクの不確定性原理は誤差？きっちりih/(2π)になるというわけではなくこの程度のオーダーになるよ」という話を聞いたことがあって
(いやもしかしたら小澤の不等式の登場で意味合いが当時とは変わってるかもしれませんが)

それと、なんとなく次元の数や運動の仕方によってこの係数は異なるのではないかと思うので
今日は目をつぶっておきます。

はぁ、やっぱり楽しーし、落ち着くんだよねえ