「実対称行列の固有値はすべて実数である」の証明

数年越しの重い腰あげてようやく読むことにした。

今日の俺はー気分がいいー(午前中だけだったけど)

こういうときは実際に式を書きながら追っていくと効率がいい。



ええと、ナニナニ？

「縦横n^2個の要素からなる正方行列Aの固有値λと固有ベクトルx(列ベクトル)は

Ax=λx

を満たすと定義される。」

そうだろう･･･？


Aが実数行列だと、Aの複素共役A~=Aであり
Aが対称行列だと、Aの転置行列A^t=Aである。
行列Aの転置と複素共役の両方を取ることをエルミート共役といい、A~^t=Aであらわす。
は「ダガー」と読む。
つまり、実対称行列であるAはエルミート共役に対して不変である。A=A^†
実はこれは実対称行列に限らない。エルミート共役に対して不変な行列をエルミート行列と呼ぶ。



固有値と固有ベクトルの定義式に対して両辺エルミート共役を取ると
x~^t・A=λ~・x~^t　　　ﾈｰ

である。この両辺に右から固有ベクトルをかけてやったもの

x~^t・A・x=λ~・x~^t・x　　　ｶｲﾊﾞｰ
と、固有値・固有ベクトルの定義式の両辺に左から固有ベクトルのエルミート共役をかけてやったもの

x~^t・A・x=x~^t・λ・x　　　ｶｲﾊﾞｰ

の左辺は同じなので、右辺を比べると

λ~=λ

となるので、λは全部実数でキマリである。


え、これだけ･･･！？まじで！？
数年越しにお気に入りあさったらあの「安定性になんとなーく定評のあるpdfファイル」すらリンク切れしていたから調べなおしたというのに･･･！

行列の要素にも要素数にも言及しないでスッパリ証明しやがった･･･！
なんだこれ！！こんなにアッサリだったのか！！！
もっと早く読んでおくんだったー･･･orz



ちなみに「固有ベクトル同士は直交をスルー(内積ゼロ)」
な、なんだってー！？

あ、ホントだ･･･具体的に要素ぶち込んだら全部直交しやがる･･･
まじか･･･


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