PVC：遠近法と無限等比級数(物理気相化学)

絵や図面を描くときに、1点透視図法ってあるじゃないすか。

消失点を適当に決めて、そこに向かって奥行きの線を集中させる描き方っすよね


それに対して、簡易な描き方として等角投影法ってあるじゃないすか
たとえば3次元の物体(ベクトル)のデータをエクセルに打ち込んで、それをx、y、z軸で適当に回転させて
ベクトル要素3つのうち2つを折れ線グラフで結べば、等角投影法っぽく見えるじゃないすか


そのデータをですよ
1点透視図法に変換させたいと思いましてね
そうすると、消失点に向かうようにっていう理屈は定量化可能なんすけど
奥行きの定量化って自分、あんまりよくわかってなくてですね


それで日食のことを思い出してたんすよ。
太陽って月の約380倍遠くにあって、大きさ(半径)も月のちょうど約380倍あるから、遠近法的に見て同じ大きさに見えるわけじゃないすか


ってことはですよ、2倍遠くにあるものは半分の大きさになるわけっすよ


じゃあ、消失点まで同じ長さのサイコロが無限に積まれていくとしたら
一番手前のサイコロを描く際に、紙面で言う消失点までの長さの何割の長さで奥行きを描けばいいんすか


ってことで無限等比級数の話になってたんす。


等倍のサイコロが一番手前にあって、1/2のがその1個奥にあって、1/4のがさらにその1個奥にあって･･･

ってことは、紙面上のサイコロの奥行き長さを1とすると、消失点までは∑(1/2^k)　(k：1～∞の整数)
になるわけじゃないすか。


無限等比級数っすよ、懐かしくね？


wikiるまでもないっつうか、wikiったら負けな気がするので導出するっすよ。


1+1/2+1/4･･･+1/2^k

ってのをaとするっすよ

で、a/2を考えるっす。

a/2=1/2+1/4+1/8+･･･+1/2^(k+1)

になるっすよね。

じゃあa-a/2をしたらどうなるっすか

左辺はもちろんa/2

じゃあ右辺は？
途中のモブがバッサバッサ切り倒されて

1-1/2^(k+1)

じゃないっすか。つまり


a/2=1-1/2^(k+1)

ここでは無限等比級数っすから、k→∞の極限で考えてよかっす

つまり、a=2

そうすっと、消失点までの長さは、一番手前のサイコロの紙面上の奥行きの長さの2倍になるわけじゃないすか


これでようやく奥行きの定量化も済んだってわけっすよ。

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