TO：ターミナルベロシティ１

速度に比例した空気抵抗を受ける質点の落下運動を論じる。

ニュートンの運動方程式は以下のようになる。

mdv/dt=mg-c1v

m：質量。定数。
g：重力加速度。定数。
c1：速度に比例する空気抵抗の係数。形状に依存する定数。
v：落下速度。下をプラスに取る。tの関数。
t：経過時間。変数。
dv/dt：速度の時間微分。

この微分方程式を解きたいと思う。

vの符号と係数が邪魔なので移項する。

-(m/c1)dv/dt=v-mg/c1

変数を積分しやすいように分離する。

-(c1/m)dt=dv/(v-mg/c1)

左辺の積分=-(c1/m)t+A

Aは積分定数。(任意)

右辺の積分=ln(v-mg/c1)

-(c1/m)t+A=ln(v-mg/c1)

両辺の指数をとると

Ae^-tc1/m=v-mg/c1

ここで、初期条件であるt=0のときv=0を代入し、Aを決定する。

A=-mg/c1

よって、

v=mg/c1*(1-e^-tc1/m)

となる。

この速度vは、
t=∞で、最終速度v=mg/c1に漸近することがわかる。
c1がmgに対して大きければ最終速度は小さい。
つまり空気抵抗が大きければあまり速くない速度に落ち着く。

また、c1がmに対して大きければ、時定数m/c1は小さくなる。
つまり早く最終速度に漸近することになる。


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