UO：ターミナルベロシティ２

速度の2乗に比例した空気抵抗を受ける質点の落下運動を論じる。

ニュートンの運動方程式は以下のようになる。

mdv/dt=mg-c2v²

m：質量。定数。
g：重力加速度。定数。
c2：速度の2乗に比例する空気抵抗の係数。形状に依存する定数。
v：落下速度。下をプラスに取る。tの関数。
t：経過時間。変数。
dv/dt：速度の時間微分。
xⁿ：xのn乗

この微分方程式を解きたいと思う。

vの符号と係数が邪魔なので移項する。

-(m/c2)dv/dt=v²-mg/c2

変数を積分しやすいように分離する。

-(c2/m)dt=dv/(v²-mg/c2)

左辺の積分=-(c2/m)t+A

Aは積分定数。(任意)

右辺の積分は、このままではできないので、式を変形する。

右辺の分母は

v²-mg/c2=(v+√(mg/c2))(v-√(mg/c2))

になるので、

1/(v²-mg/c2)=B1/(v+√(mg/c2)+B2/(v-√(mg/c2)

になるようにB1とB2を決定する。

通分して分子を比較すると

(B1+B2)v=0
(B2-B1)√(mg/c2)=1

のような連立方程式になるので

B2=-B1=√(c2/mg)/2

となり、

右辺=√(c2/mg)/2*dv/(v-√(mg/c2)-dv/(v+√(mg/c2)

右辺の積分=√(c2/mg)/2*ln((v-√(mg/c2)/(v+√(mg/c2))

となる。

左辺と右辺を結ぶと

-(c2/m)t+A=√(c2/mg)/2*ln((v-√(mg/c2)/(v+√(mg/c2))

移項すると

-2√(c2g/ｍ)t+A=ln((v-√(mg/c2)/(v+√(mg/c2))

両辺の指数をとると

Ae^{-2t√(c2g/ｍ)}=(v-√(mg/c2)/(v+√(mg/c2)

ここで、初期条件であるt=0のときv=0を代入し、Aを決定する。

A=-1

vの式にまとめると

v=√(mg/c2)*(1-e^{-2t√(c2g/ｍ)})/(1+e^{-2t√(c2g/ｍ)})

分母分子にe^{t√(c2g/ｍ)}をかけると、

v=√(mg/c2)*(e^{t√(c2g/ｍ)}-e^{-t√(c2g/ｍ)})/(e^{t√(c2g/ｍ)}+e^{-t√(c2g/ｍ)})

この分子はsinh、分母はcoshなので、vはtanhの式になる。

v=√(mg/c2)*tanh(t√(c2g/ｍ))

tanhは双曲線関数の1つで、
双曲線関数は3つありsinh、cosh、tanhと、三角関数にハイパボリックの頭文字hをつけてあらわす。

双曲線関数には三角関数におけるオイラーの公式

e^it=cos(t)+i*sin(t)

に類似した

e^t=cosh(t)+sinh(t)

の関係が成り立つ。

e：自然対数の底。約2.718
i：2乗すると-1になる数。虚数単位。

coshはcos同様偶関数なので、y軸対称であり、sinhはsin同様奇関数なので、原点対称である。
よって、奇関数sinhを偶関数coshで割ったtanhはtan同様奇関数である。

また、tanh関数は、中身が大きくなると指数関数の片方が支配的となるため、1に漸近する。

よって、速度の関数

v=√(mg/c2)*tanh(t√(c2g/ｍ))

はt=∞になると

v=√(mg/c2)

の最終速度に漸近する。
c2がmgに対して大きいと、最終速度は小さく収まる。

また、c2がm/gに対して大きいと、早く漸近することになる。


にほんブログ村