PQC：11のべき乗から二項定理を、二項定理から順列、組み合わせの定義式を思い出す方法

二項定理というものを習った覚えがあるだろうか

たとえばx+1の2乗や3乗などを計算するのに便利な定理なんだが、

組合わせ記号mCnを使って

(x+1)^nを
Σ(nCi×x^i)　(0≦i≦n)
と展開できる。

しかしながら、この定理自体や組合わせ記号の定義

mCn=m!/n!/(m-n)!
などを忘れてしまっては意味がない


そこで、二項定理を11の何乗で覚やすくできないかと考えた。

つまりこういうことだ
係数のmCnを11のべき乗の筆算を使って導出するのだ。

たとえば(x+1)^2=x^2+2x+1の1,2,1という係数を11の2乗によって以下のように導出する。
 

	1	1
×	1	1
－－－－－－－
	1	1
＋	1	1
－－－－－－－
1	2	1

ただし、係数が10を越えて2桁以上になる場合には注意が必要である。

たとえば、(x+1)^6=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1の係数1,6,15,20,15,6,1の係数の場合
20や15が2桁になる

これは11を6乗する際に11^6=(11^2)^2*11^2を筆算してやって、その係数を求めるわけだが
この筆算の足し算のさいに隣の桁に繰り上がりの影響を与えてはいけない。

			1	2	1
×			1	2	1
－－－－－－－－－－
			1	2	1
		2	4	2
＋	1	2	1
－－－－－－－－－－
	1	4	6	4	1

			1	4	6	4	1
×					1	2	1
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
			1	4	6	4	1
		2	8	12	8	2
＋	1	4	6	4	1
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
	1	6	15	20	15	6	1

また、11のべき乗から逆に組み合わせmCnや順列mPnを導出するのもアリかもしれない



11の4乗あたりまでやって、14641の数列を見て、右からn番目を4Cnとしてみて
確か4C2=4C4=4だし、4C1=4C5=1だし、4C3=6で左右対称だから
なんとなーくうすぼんやり4C2=4・3/(2・1)=4・3・2/(3・2・1)=4C3(3つと2つ)とかってやったなぁ
って思い出せれば
分子にはたぶん4の階乗があって、3つや2つの積にするために2や3の階乗で割るんだろうと考え、
その上さらに左右対称なんだから4-nの階乗とかで割ってるんだろうなぁってとこまで考えると
mCn=m!/n!/(m-n)!ってことが試験中でも芋づる式に思い出せる。

で、この分母のどっちかがなくて、nが大きいときにびっくりするほど大きな数になるのが順列のmPnだってことさえ覚えていれば
たとえば1～5までの数から4つ抜き出す「順列」を連想したりしてみると、n!と(m-n)!のどっちを抜かせばいいかってことはおのずと導き出せるはずだ。


まあそんなわけで、(cosθ+isinθ)^8=cos(8θ)+isin(8θ)を証明して、
8半角の定理でも導いてみなさいよ＾＾

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