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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
[2527] [2525] [2524] [2523] [2522] [2521] [2520] [2519] [2518] [2516] [2515]

すいませんタイトル間違えました緯度じゃなくて経度です。><


書く側も読む側も疲れるので、小出しにしましょう。



水素原子の波動関数なんですけどね

変数分離すると、まず緯度経度方向φの波動関数Φ(φ)が得られるじゃないですか。
微分方程式自体はすごく簡単なんです。

ですが、これ複素数として算出されるのが初心者にはなかなか解せなくてですね
どうやって実数化すんのよって話になるんですよ。


ΦとΘの表を見てください

|m|=0のときはいいのですが
|m|≠0だと、ΘとΦの積(極座標)とΘΦが微妙に違うんですよ。
m=0の緯度経度波動関数 ΦとΘ
いつの間にか√2倍されてるんです。
 m≠0の緯度経度波動関数 ΦとΘ  
これはどういうことかといいますと

exp(±imφ)をそのまま規格化した際は
 複素関数の規格化 
なので、係数は規格化係数になるのですが


m≠0だとΦをまず実数化しなきゃいけないんです。

exp(imφ)とexp(-imφ)の適切な1次結合(線形結合)の対を探すんですけど
ぶっちゃけ
sin(mφ)=(exp(imφ)-exp(-imφ))/(2i)とcos(mφ)=(exp(imφ)+exp(-imφ))/2  
ってだけなんです

 
Aexp(imφ)+Bexp(-imφ)のAとBは、BがAの共役複素数ならなんでもいいです。
実数化 
の虚部がφに対して恒等的に0であればいいので、A1=B1、A2=-B2の複素共役関係です。
これを代入すると、実部はこうなって
実数化
2A1=cosδ、2A2=sinδとおくと、加法定理より
どっち化
こう実数化されるわけです。A1,A2,C,δは任意の実数です。
(なぜか振り子の微分方程式のところで教科書のここばっかり見てて授業聞いてませんでした)


 
ところで
どうして、sinに対してcos、っていう対じゃなきゃいかんのでしょうね?
波動関数同士を直交関係にするため?


たとえばsinφとsin2φが直交するように
sinφとsin(φ+d)みたいな中途半端なdの対は認められないんでしょうか。
でもそれだったらsinφとcosφのカップリングだって認められないじゃないですか。
直交関数系カップル 
sinあるいはcosだからこの論理でいいんでしょうか

cosとsinの内積 
三角関数そのものが平行か垂直に分類されるわけっすね。


========
そのうえで、sin(mφ)かcos(mφ)の2乗を積分しようとすると

実数の規格化が複素より√2倍された
うまいぐあいに複素のときの規格化係数とは√2倍だけ違ってくれるんですよ。



あと、ここもなかなかおもしろいところでしてね
係数が微妙に違う
どうしてlも|m|も同じなのに分母が半分になってるのかといいますと

ド・モアブルの定理を使った加法定理なんですよこれ。
倍角の定理
この2の部分が効いてきてるんですね。
ΘΦ(極座標)にさりげなくcos2φとかって書いてあるのがまーた誘導的で小憎たらしいんですよねーwww

倍角同様、ド・モアブルの定理を使えば3倍角の定理も簡単に作れます。
3倍角の定理 
これが|m|=3に使われてるわけです。


あとは、極座標と直交座標の関係
x=rsinφcosθ
y=rsinφsinθ
z=rcosφ
を使って戻してやればOKです。


最初は、実部がxで虚部がyなのか?そんなばかな~パウリ行列じゃあるまいしって
思ってたんですよ~
やー見事にベクトルの直交と関数の直交がリンクしてます。全然大雑把じゃないアナロジーです。


水素原子かわいいよ水素原子
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