パウリ行列を指数関数にぶち込んだらオイラーの公式の行列バージョンになったった

数十億人の未来のためとか言われてもわからないが、明日の自分の趣味(パンツ)につながる技術なら、つなげたい。

固有値・固有ベクトル
↓
対角化
↓
指数行列

・・・なんだかわからないけどとりあえず紡がれていくバトン・・・


お久しぶりです。対角化シリーズです。こんにちは。


10年以上前に習ったはずの、「指数関数の中身が行列」に、ようやく自分の知識がつながってくれました。

中身が行列ってお前・・・どんな概念だよ
ということになりそうですが
中身がスカラーだったときも、指数関数を定義する際にテイラー展開を使ったじゃないですか。
exp(x)=Σ(x^n/n!)

このxを行列Aに応用すればいいだけなんです。

つまり
exp(A)=Σ(A^n/n!)

と、ここで行列Aのべき乗が出てきました。
行列の掛け算は過去日記で、掛け算に都合のいいように「対角化が可能」という話をしました。

この「対角化」には「固有値」と「固有ベクトル」を用います。

対角化された行列は対角成分しかないので、その対角成分同士の積を、まるでスカラーのように計算することができます。
もちろん、行列Aのn乗などの「べき乗」においても有効なのは言うまでもありません。


そこで、
exp(A)=Σ(A^n/n!)のAを
A=UλU-1
という、ユニタリ行列Uとその逆行列、そして対角行列λの積で表現してやれば

exp(A)=U(Σ(λ^n/n!))U-1

で表現することが可能になるのです。

とりあえず、以前対角化するときにネタに使用したフィボナッチ数列の行列表現 を用いて検算をしてみましたが、検算以上のものは見いだせず、ちょっと萎えてしまうところでした。


なんかこう、結果が綺麗に見えるものはないかと考えていたところ
パウリ行列σ1～3なんか適任なんじゃないかと思えてきまして
じゃあもしかして、eのπパウリ行列乗ってマイナス1的な何かになるんじゃねえの！？ぐうぇっへっへ・・・

と思ってやってみたんですが、ハイパボリックの中身πなんて面白くもなんともない・・・



そこでもう少し知恵を絞って
あ、そういえばパウリ行列同士の積ってなんだろう？
という疑問を抱いたことを思い出し
クォータニオンの積と照らし合わせると、実部がスカラー積、虚部がベクトル積にほぼ相当しますよね
ってのを思い出して

あ、じゃあ
eのπパウリ行列乗ではなくて、eのiπパウリ行列乗だったらなんか面白いことになるんじゃね！？

っつうわけで計算したら
 
eのiπパウリ行列乗はなんと、マイナス単位行列だったのです！σ1～3すべてです！
exp(iπσ_n)=-E　n：1～3　　　ﾃﾞﾃﾞﾄﾞﾝ！
オイラーの等式、行列バージョンｷﾀｰｰｰ！



オイラーの等式と打った時点で、じゃあもうお前時代は「等式」じゃなくて「公式」だよな！

ってことで、πだけではなく任意の角度θで一般化しましょう。＾＾


パウリ行列は以下のとおりです。i,j,kはそれぞれx,y,z軸の単位ベクトルです。
(新しく図を用意するのが面倒なので、虚数単位なのか単位ベクトルなのかは文脈で判断してくださいｗｗｗ)
 


固有値は3つとも±1で、異なるのは固有ベクトルのみです。

固有ベクトルを算出して、対角化のための行列を用意しましょう。
 
3番目のパウリ行列はすでに対角化されているので、対角化のための行列UはUの逆行列と同じ、単位行列です。
(ユニタリと言いながら2で割るのをあえて最後にいっぺんに行っています
こういうのはなんでいう名前なのかと思いましたが、もしかして対角化行列と対角行列は別のものなのでしょうか？)


では、それぞれのパウリ行列を指数関数にぶち込みましょう。
20131116追記：なんかおかしいと思ったらiθが浮いてますね。ちゃんとm乗しましょうね(iθ)^m

20131117追記：↓ここのユニタリの逆行列U^-1も、右側のiと-iが逆ですねすんません↓＞＜




すると、回転を表現する方法が、いわゆる回転行列(σ2のとき)以外にも種類があることがわかると思います。みな個性的で可愛らしいですね。＾＾
パウリ行列の中で、唯一中身が純虚数のものを指数関数にぶち込んだら、唯一実数の結果が得られたというのも、実に皮肉な感じで興味深いです。




少しずつ計算の分野がニッチ化してる気がするんですね
「パウリ行列」で画像検索かけると少ないんですよ。
それなのに画像を間違えたまま載せとくのもどうかと思いつつ
でもここがブログだから差し替えるのもどうかと思いつつ
でも画像検索してくれた人がブログの訂正文を読まずに式を当てにしてくれてしまったら申し訳ないなぁ
じゃあブログでやるなよなんて言わないでくださいよう
僕の日常いつもこうなんですから・・・

といいつつ、「ここだけの話はここだけで」効果を期待して文字を小さくしてみる戦略的矮小・・・

eのiπパウリ行列乗のパウリ行列=-Eが1から3なのか0から3なのか迷っていたんですが0ですね。
単位行列の指数関数は2番めの成分が逆回転しないだけで、回るっちゃ回るんですよ1番目の成分と同じ方向に。

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