続々・4行4列のユニタリ生成子の固有値を数値的にてさぐるXlsXファイル～15次元空間ノルムで規格化編～

さっきおとといの続きです。

実は、ユニタリ行列というのは、複素数に拡張した回転行列のようなものでして

回転というからには、「回転させる元のベクトルの大きさを変えない」という特徴があります。

n次のユニタリにはn^2-1個の自由度があるのですが

n^2-1、つまりn=4だと実質15次元空間内のベクトルの大きさを変えずに向きだけ変えるという意味なので、回転面とその法線ベクトルに分解することができ、その法線ベクトル自身も、向きと大きさに分けることができます。
3次元空間の回転行列の回転軸を任意に拡張した「ロドリゲスの回転公式」や「クォータニオンによる任意軸回転」と似たような感じで、回転をトルクのようなベクトルで考えると、そのベクトルの向きが回転軸に相当し、ベクトルの大きさが回転量に相当するわけです。


よって、向きだけ考えたい場合、単位法線ベクトルを考えるため 
ノルムを1に定義できるのです。


という制約をつけると、固有値を求める4次方程式はより見通しがよくなりまして


このような形で書けます。

ノルムというのがピタゴラスやフェルマーあたりからの帰結から、2乗に縁があることと次元解析から推測するに、

一般化したn次のユニタリ生成子のエルミート行列の固有値においても
 
このような形になりそうな経験則があるようです。
まあ、エルミート行列による全固有値実数の要請から、2次下がった項の係数がマイナスってのはなんとなくわかるし
マイナスの1ってのももちろん、たった今までのくだりでわかるだろうし

1次下がった項の係数がゼロってのも、カルダノやフェラーリの方法を見てるとなんとなくわかりそうな気もしますね

また、全固有値が実数に収まるように、各係数amの上限や下限があるはずです。
まあそこはいいとして


実際に15個のθを規格化してみましょう。


この図の、オレンジ色のセルは、-π～πの範囲で一様な疑似乱数を出力し、ユニタリ生成子のエルミート行列に反映させています。

これから、これらを規格化します。
まず、1つ右隣にコピペしましょう。それから、元の疑似乱数の数値を削除し、書式の塗りつぶしを、「薄い緑」にでもしておきます。

次に、
θ1～15の2乗和のルートを、下に追加しましょう。
sqrt(sumsq(θ1:θ15))です。

さらに、薄い緑のセル群に、「オレンジ色(相対参照)/2乗和平方根(絶対参照)」を反映させれば
規格化完了です。

確認のため、規格化した15個のθの2乗和平方根を取ってみましょう。1になるはずです。(平均しない実効値rms)


ちょっと見やすくしてみました。グラフのスケールもだいぶコンパクトになってます。


 
この、規格化した状態で
行列式の値から、λの4乗を引いて、λの2乗を足してみますと

ただの直線になります。
y=ax+bの形のアレです

つまり、規格化した状態ではn次の係数は1、n-1次の係数は0、n-2次の係数は-1と、定まってしまうのです。

 
 
 
実際に4次のユニタリ生成子から4次方程式の各係数を抽出するのはかなり煩雑
というか僕には無理だったのでバッサリ切り捨てまして
多項式フィッティングの最小自乗法を使えば係数を求めることができてしまうのです。

与えられてる関数としては、直線の傾きと切片を求める関数「slope」と「intercept」しかないみたいなので、4次まではOK、
5次以上のユニタリ生成子を調べたいときは
2次以上の多項式についての最小自乗法を行う関数かなにかを作らなければならないかもしれません


改良したExcelファイルを置いておきますので、自由にDLして遊んでみてください。＾＾





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