アフィン変換で理解し始める「ジョルダン標準形」例題

一緒に考えてみようや＼PON／

まずは、2次元(平面)同士の図形の変換「拡大・縮小」に、「平行移動」を合わせるためのダミー次元を加えた、3行3列の行列で考えてみることにしよう。



Aというアフィン変換が、以下のようにｘ、ｙ軸共通の縮尺aと、ｘ、ｙ軸それぞれの平行移動の値ｘ、ｙで定義されているとすると、



固有値λはλ=aが2つと、λ=1が1つとなるので、

対角化された行列すなわちジョルダン細胞は以下のようになる。

僕はまだ不慣れなので、nとmに0が入るか1が入るかは試行錯誤で判断している。ほかの数が入ることはない。

対角化のための行列(ブラ・ケット)Pを以下のように定義すると

AP=PJが恒等的に成り立つためには
n=m=0で、
d=g=0である必要があり(a≠1である限り)

bx+ey=(a-1)h
cx+fy=(a-1)i

を満たす必要がある。

簡単のため、h=i=e=1、f=2とすると(f=1にしなかったのは、1列目と2列目を線形従属にしないため)

bx=cx=(a-1-y)
であることが要求されるため、
Pは
 
または、全体にxをかけて
 
あるいは、簡単のためj=2を代入して(j=1にしなかったのは、一番下の行を線形従属にしないため)
 
このように定義して、対角化を行ってもいい。



なお、nかmどちらかもしくは両方が1だった場合、自己矛盾が起こることを確かめてみよう。


ここで、Pの行列式と逆行列を求めてみることにすると

行列式
 
逆行列


対角化を確かめてみると



対角化の逆算で、アフィン変換Aをn回連続で行った結果を求めると


このようになることがわかる。
a、ｘ、ｙに適当な数値か文字を入れて、n=2やn=-1とかで試してみるといい。


しかしながら、この対角化は、a=1の結果については教えてくれない。


と思うかもしれないが、実は
このような級数関係があって
こうなっちゃったりするので
a=1でも問題なくなってしまって
こんなんだったりする。ただの等倍平行移動の繰り返しだ。
 

ともあれ、結果は出せたが、途中経過でバグるので、そのための対策として
a=1の場合のジョルダン標準形を考える、という言い訳を作る。