相対論ではなくニュートン力学で円錐曲線

相対論ではミンコフスキー時空が円錐曲線ですが
ニュートン力学では惑星の軌道なんかがそれに当たりますね。

たとえば太陽のような大質量の天体からの重力を受けて移動する小質量の惑星などの天体の動きをシミュレートする場合なんかは

運動方程式
mdv/dt=-GmM/r^2
dr/dt=v

の連立1階微分方程式が使えます。(2階の微分方程式1本と見なしてもいいです)

ここで、回転運動の場合は角運動量保存の観点から、回転軸が変化しないと判断して
2次元平面内での移動を考えるだけで十分なので

太陽からの距離ベクトルrをr(x,y)といった風に、xとyだけで記述が可能です。


また、数値シミュレーションの際には極座標を取る必要がないため
微分の複雑な式展開はさほど必要ではありません。


先ほどの式をrの代わりにxとyで表現すると
r^2=x^2+y^2なので

m・dvx/dt=-GmMx/√(x^2+y^2)^3
m・dvy/dt=-GmMy/√(x^2+y^2)^3
dx/dt=vx
dy/dt=vy

この4本の式だけでシミュレーション可能です。
この際、働いている力が重力であるため、移動する天体の質量mは式から分離できます。


dv/dtの微分を(v2-v1)/dt
dx/dtを(x2-x1)/dtなどと差分の形で書き換えると

上の4本の式は

vx2=vx1-GMxdt/√(x^2+y^2)^3
vy2=vy1-GMydt/√(x^2+y^2)^3
x2=x1+vxdt
y2=y1+vydt

となり、1つ前の位置や速度を用いて次の速度や位置を逐一計算する形でシミュレーションが可能です。

初期値は位置と速度のそれぞれx成分とy成分の4つが決まればOKなのですが
初期位置と初速度が直交していればだいたいOKなので、単純化させると位置(0,y0)、速度(vx0,0)で軌道が描けます。

でこの位置rと速度vの関係ですが
力学的エネルギー保存則の観点から
力学的エネルギー：運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の合計
mv^2/2-GMm/rが負になれば惑星のような楕円軌道を維持できます。

m(vx^2+vy^2)/2-GMm/√(x^2+y^2)＜0
vx0^2/2-GM/y0＜0
の初期条件なら安定軌道の惑星
と、書き直すことができます。


※
ポテンシャルは力-GmM/r^2のrを＋∞からr1まで持ってくるだけの積分なので
-(-GMm∫1/r^2dr)　(積分範囲　r：∞～r1)
=-GMm/r1
となって、r1をrに置き換えなおすと
-GMm/r
となります。


vx^2/2-GM/y0=aとして、aが-1から1まで変化したときの軌道の状態を図示してみると
a>0で楕円
a=0で放物線
a<0で双曲線の軌道を描いていることがわかると思います。

まさに離心率や円錐を色んな角度でぶった切った断面の形に相当しています。



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