ML：3次不等式を約分するときの注意(ミリリットル)

ふとね、
x³-a²x>0
っていう3次方程式を解く用事ができたんだけどさ
これってx(x+a)(x-a)>0に因数分解できんじゃん

この3つの積が正の数なんだから、条件は4つあるよな
1　x>0＆x>a＆x>-a
or
2　x>0＆x<a＆x<-a
or
3　x<0＆x<a＆x>-a
or
4　x<0＆x>a＆x<-a

1つ目はまとめると一番強い条件になってx>aになる
2つ目はx>0とx<-aを同時にクリアできないからこの条件はナシ
3つ目はまとめると-a<x<0になる
4つ目は2つ目同様同時にクリアできないからこの条件もナシ

ということは結局、xの範囲はx>aと-a<x<0ということになる。
これが答え

でもこんな面倒な計算する必要もないんだ
もっと感覚的に。
x³っていう右肩上がりの曲がった3次曲線に-a²xって単調に右肩下がりの直線を足すわけだから、原点対称は変わらずのままで、x³の曲線を右肩下がり気味に歪めれば関数のイメージはつかめるわけよ

こいつのx軸と交じる点はx=0,a,-aで、
極大・極小は微分した3x²-a²が0になるxを求めればいい
x=±a/√(3)のところで、関数値はxを代入して
√(a²/3)³-a²√(a²/3)=±(-2a)/√(27)
つまり極大・極小ポイントは、aによって横にも縦にもaに比例してビローンと伸びる感じになり、x軸と交じる点も同様にaに比例して横にビローンと伸びる感じ。
左上と右下にピークがあって、その両端では右肩上がり
だいたいイメージできたっしょ？

このイメージで、関数がx軸より上にあるxの範囲を考えればいいだけだから、答えは簡単、さっきと同じ答えになると。



ところで、x³-a²xをxで割ると、x²-a²になるわけじゃん
この関数が0より大きい場合の範囲はさっきとちょっと違ってくるんだよなぁ
xが正の範囲は同じなんだけどさ、xが負の場合は-a<x<0じゃなくて、今度はx<-aって間逆になってまうわけよ

これは、xが負の範囲の話だから、
さっきの3次関数を約分したときに不等号を逆にしなきゃならなかったんだよな
つまり
x³-a²x>0を負の範囲でxで割ると
x²-a²>0じゃなくて
x²-a²<0
のほうになるんだよ(もちろんxは負の範囲限定だよ)
そうすると、ちゃんと-a<x<0って答えも出てくるわけ




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