LL：ブラックホールの怪談

どこだかの掲示板でブラックホールの話をしていて
この宇宙全体の質量がブラックホールになったときのシュバルツシルト半径を計算していたんだよ

そしたら、今の宇宙の半径よりも大きくなってしまって
なんで宇宙の半径よりも大きくなるんですかって指摘があって
それもそうだよなぁ
って思ったんだけど、特に重大な計算ミスも見当たらなかったんだ

ただ1つ、気になっていたのが･･･ブラックホールの質量が半径の3乗ではなく1乗にしか比例しないってこと･･･
つまりは質量の増加に対し、ブラックホールの半径は質量の1乗に比例で単調に増加するのに対し、ブラックホールになる前の物質の広がり半径は質量の1/3乗に比例するから最初一気にでかくなるけど徐々に勢いを失ってついにはブラックホールの半径を下回る

ってことはよ？
よっぽど質量でっかくしてやったらブラックホールのシュバルツシルト半径は、ブラックホールになる前の物質の広がり半径を追い越して、より大きくなりえるんじゃね？

って思って計算してみたわけよ

仮に宇宙を半径r_uの球だとしようや、それでだいたい満遍なく密度ρで物質が存在しているとしようや
そうするとその半径r_uとその中の質量Mとの関係は単純計算で
M=4πρr_u³/3
になるわけよな

一方、ブラックホールの半径つまりシュバルツシルト半径r_bと質量Mとの関係は、Gを万有引力定数、cを光速として
r_b=2GM/c²
になるわけよな

この半径同士を比べて、r_b＞r_uになる条件があるかどうか探せばいいわけよな

ってことはこうなる

2GM/c²=r_b＞r_u=(3M/(4πρ))^1/3
(8G³M³/c⁶／(3M/(4πρ)))^1/3=(32πρG³M²/(3c⁶))^1/3＞1
1よりでかいんだから3乗したって不等号は変わらんべってことで
32πρG³M²/(3c⁶)＞1
移項して
32πρG³M²/(3c⁶)-1＞0
32πρG³/(3c⁶)=1/a²
とおくと
M²-a²＞0
って質量Mに関する2次不等式になるから、因数分解して
(M+a)(M-a)＞0
だから、
M＞aかつM＞-a
または
M＜aかつM＜-a
しかなく
前者はM＞a、後者はM＜-aになるが、仮に負の質量がないとすると
解は前者M＞aだけになる
つまり、M＞√(3c⁶/(32πρG³))

あとはこれがどのくらいの質量なのかってことを計算すればいいだけなんだが、cとGとπは分かるがρは調べてこないといけない

僕が知る限りだと、現在の宇宙にある核子つまりは原子核の元になる陽子か中性子のことだが、その数が10⁸⁰個程度あるらしくその1個1個はだいたい陽子か中性子程度の質量を有しているのだから1.7×10^-27kg程度なのだろう
とすると、宇宙における核子による質量は10⁵³kg程度、
また、ダークマターが存在するとしてそれとの質量比はダークマターが22に対し核子が4らしいので、(22+4)/4倍すると10⁵⁴kg程度になる。
この質量を今の宇宙の半径150億光年から球だと仮定して計算した宇宙の体積10⁷⁹m³で割ると、密度ρ=10^-25kg/m³が出てくる。やっぱりかなり希薄じゃねーか

これで密度まで揃ったので、ブラックホールのがでかくなる境目の質量を算出すると10⁵²kgと、どこかで見たような質量の値が出てくる。

そう、現在考えられている宇宙の全質量より2桁ほど小さい。
つまり、この希薄な宇宙を超高密度なブラックホールに押し込めたつもりでもあまり変わらないどころか前よりでかっくなっちゃったということになる。

な、怖いだろ？今年の夏の怪談にオススメ。

宇宙がブラックホールだらけになる将来像が提示されていて、そのはるか未来には宇宙の大きさ自体がブラックホールよりでかくなってるはずらしいんだが、そんな状況がありえるんじゃないかってだけでまあ多少涼しくもなるよなきっと




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