TQ：eのπ乗がπのe乗より小さくないことを証明したい日

e^π＞π^eであることを証明する。

今日はなんとなく逆説的に進めて行きたい気分なので

e^π＜π^eが正しくないことを証明する。
両辺の対数を取る。
π＜eln(π)
両辺をeで割る
π/e＜ln(π)　①

ln(π)をe付近でテイラー展開する。
どうしてこのようにしたらいいかという推測は
整数のみの四則演算であるテイラー展開にπとeを組み込みたいからと考えればよい。

xの関数f(x)におけるテイラー展開の定義は
f(x)=∑(a_n(x-x₀)ⁿ/n!)　(n：0～∞)
a_n=f⁽ⁿ⁾(x₀)

であるので、f(x)=ln(x)、x₀=eとしてテイラー展開する。

ln(e)=1
ln(k)=(-1)^k+1(k-1)!/e^k　　k：1以降の整数
なので、
a_nは
a₀=1
a_n=(-1)ⁿ⁺¹(n-1)!/eⁿ　n：1以降　
となり、ln(x-e)のテイラー展開は
ln(x-e)=1+∑((-1)ⁿ⁺¹(x/e-1)ⁿ/n)
となるので、x=πを代入すると
ln(π-e)=1+∑((-1)ⁿ⁺¹(π/e-1)ⁿ/n)　(n：1～∞)
となることがわかる。

n=1の項まで見ると、
ln(π-e)≒π/eであり、①式は等号で結ばれることになるが、
n=2の項が-(π/e-1)²/2なので、n=2での近似はn=1の近似のときのπ/eよりも小さくなることがわかる。
また、それ以降の項の絶対値はどんどん小さくなって収束していくので、一度(π/e-1)²/2だけ引かれた値がさらに(π/e-1)²/2以上加わることはない。

したがって①式
π/e＜ln(π)　
は誤りである。

よって
e^π＞π^e
である。

第一話、完。



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