PH：ブラックホールの蒸発(PHはペー・ヘンリー)

ホーキングによればブラックホールは多かれ少なかれ光りながら質量を減らしてるらしくてな
その式がこいつらなんだよ

P=-dE/dt[W]　エネルギーEと電力Pの関係(時間(t)微分)
S=4πr²[m2]　半径rの球の表面積S

π≒3.1416は円周率
ここまでは本当に当たり前の式たち


P=σST⁴[W]　黒体放射の式。絶対温度Tのときに放つ放射電力P
E=Mc²[J]　変換効率100%のときのエネルギーEと質量Mの関係

c=3×10⁸[m/s]は光速
σ=5.67×10^-8[W/m²/K⁴]はシュテファン・ボルツマン定数

ここまでがちょっとだけ当たり前の式たち
量子論と相対論の最初の先っぽが出てきた

ここからがブラックホール関連の式

r=2GM/c²[m]　ブラックホールの半径rと質量Mの関係

G=6.67×10^-11[m³/kg/s]は万有引力定数
でも割と知名度アリ

そしてこれが真打、ブラックホールの蒸発の式

T=hc³/(16π²kGM)[K]　質量Mのブラックホールが蒸発するときに見える温度T

h=6.63×10^-34[Js]はプランク定数
k=1.38×10^-23[J/K]はボルツマン定数

このたった6つだけの式を元に、質量Mがどのように移り変わるかを計算してみた

とりあえず変数をMとtだけにするために式を合体させるとこうなる
dM/dt=-σh⁴/(2¹²π⁷G²M²c²k⁴)
Mとt以外は定数なので
A=σ(h/k)⁴/π/(2⁶π³cG)²とおくと

dM/dt=-A/M²　①

となってかなりすっきりする
この微分方程式を解くのはすごく簡単。
移項して

M²dM=-Adt

の両辺をそれぞれ積分すればおｋ

M³/3=-At+C

積分定数は1つでいい

M³=C-3At

t=0でMは初期質量M₀なので
M₀³=C

M³=M₀³-3At

が導かれる

なんかピンとこないので、何かいい例がないかと思っていたところ
宇宙の全質量をブラックホールにしたらどうだっていうのがあって
(もちろん全部ブラックホールなのでもう何も食えない状態)

だいたい宇宙の質量は陽子10⁴⁰個分の10倍くらいの質量(ダークマターを考慮に入れた)でできているようだから1.7×¹⁴[kg]として
この質量を持ったブラックホールが蒸発しきるのに8.6×10⁸⁶年かかると計算されたから、「宇宙のエンドゲーム」に書かれていたブラックホールが全部蒸発する時代「10¹⁰⁰年後」には当たらずとも遠からずなのではないか


そういえば不思議な
ブラックホールの質量って半径の1乗に比例すんのな
ほかの天体とかだと半径の3乗に比例するのにな(密度も考慮せなならんが･･･もしかして密度が半径の2乗に反比例する･･･わけなくね？)
だからブラックホールの質量の減少度合いは質量の2乗だから半径の2乗で、体積でなく表面積に反比例するってことになるのかなぁ(微分方程式①参照)


今度暇なときに、どうしてブラックホール蒸発の式がああなるのか導けたらいいと思ってる


シュテファン・ボルツマン定数σとボルツマン定数kの関係
σ=2π⁵k⁴/(15c²h³)