FU：超球シリーズ～完結編？～（おまけつき)

前回までの日記は、n次元超球の体積を、ガンマ関数を使ってnが整数ではなく実数まで拡張して表現することに成功した
が、nが1未満のときは自作のガンマ関数では限界があることに気づいた。


というのも、0次元における超球の体積が気になっていたのだ。


超球の体積は、超球の表面積をrで微分すると出てくる。
ということは、n次元超球の体積と表面積の比はnであるべきであり
0次元では、体積が発散でもしない限り、どんな体積でも表面積は0に固定されるはずである。


ならば、0次元超球の体積は発散するのか？
そこが知りたかった。


0次元･･･0は整数だ。
なのであれば、ガンマ関数を階乗に戻して考えることも可能だ。

V_n=2π^n/2・rⁿ/n/Γ(n/2)

にn=0を入れるとわけのわからないことになるが
同じ式の別表現である

V_n=π^n/2・rⁿ/Γ((n/2)+1)

にn=0を入れると計算が容易だ。Γ(1)=0!なのでV_n=1になる。


0次元の超球の体積は有限だった。



ちょっと気になるので、n=1とn=0の間の状況も知っておきたい。

ここは仕方がないから、ネットに頼ろう。
ガンマ関数のグラフがwikipediaに貼ってあるのだから
どこかの誰かがガンマ関数の計算をやってくれるアプリケーションをネット上で展開していたりするに違いない。

そしてそれは実在した。



とりあえず1次元まで0.2次元ごとに計算してみて、特に発散しているということはなさそうだった。

次元数を連続化させた場合のn次元超球における体積と表面積のグラフを以下に示す。













1次元の超球は体積が2r、表面積が2だった。特に表面積は半径に依存しない。

何を意味するのだろうか？
1次元の超球は線以外にない。
ということは、体積は線の長さなのではなかろうか。
中心を線分の二等分したところとすると、なんとなくつじつまが合ってしまう。
表面積はなんだろう･･･線分の中心の左右に1つずつ線分があるよ、という意味ではなかろうか。



そして、0次元。これは点だ。
体積は常に1
半径も何もない。
おそらく0次元には単位というものすらないのだろう。
自由度もないため唯一数えられる数があるとしたら1
だから体積は1以外に存在しない。
といったところなのだろうか？

表面積は、周りに何もないから0･･･という感じなのだろうか。



どちらも推測に過ぎないが。




そして、階乗は負数では定義できない。発散する。
これは、実数・複素数に拡張されたガンマ関数においてさえ同様である。
つまり、負の実数においては、整数においてだけ発散するのである。
逆に言うと、それ以外では発散しない。

ということは、整数以外の実数次元はおろか、複素数次元というのも考える余地があるということになるのかもしれない。

以前、僕は複素数次元のことを実数軸と複素数軸がある、程度のものだと考えていた。

確かにそういう概念もあるのかもしれない。

しかし、「複素数次元」という表現をした場合、
どちらかというと次元の数自体が複素数であるという解釈のほうが素直な気がしてならない。


つまりこんな感じだ

π＋ｉπ次元のような感じだ。

･･･底なし沼に迷い込んだような悪寒がする。




ところで、0次元超球である点の体積が0ではなく有限なのであれば
点に質量が集中するブラックホールやビッグバン現場などに発散(特異点)が姿を見せることは実はなかったりする･･･なんてことはないよな？




なーんてことを、コンピュータが考えてブログに載せたりする日がきたらいいよなぁ



そういえば･･･0次元ですでに点なんだが
点すらないのは何次元なんだろう？






ちなみに
2次元図形で言うところの2角形は線分、1角形は点なのではないかと思っているんだがどうだろう？

n角形の外角の和は360度で、内角の和は180(n-2)度ということと照らし合わせると

2角形の外角の和は180＋180度で360度
内角の和は0度であっているようにも思える。

1角形の外角の和は360度、これもあっているように思えるが
内角の和が-180度というのはどう解釈すればよいのかいまいちよくわからない。


～いちおう、完～




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