パウリ型回転行列の使い方

前回の日記。

パウリ行列の指数関数を用いて、ロドリゲスめいた3次元回転行列みたいなのが得られた。
だからどうした！？


あらすじおわり。

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ここまで計算し終えてようやく気づいたんだけど、実はこれと同じ結論を去年の夏くらいに得ているようだ。すっかり忘れていた。


ただ、そのときの僕は、この行列を使いあましていた。
この行列をどう使えばいい！？掛け算でもするのか！？
ただただ掛け算すればいいことに、最近気が付いた。
丸一年ごしの馬鹿の壁である。


本来、パウリ行列の2番目、σyを指数関数にぶち込んだ際に得られた
従来の回転行列を思い出そう。

これは(縦)ベクトルに直接掛け算して使っていたではないか。
それなら、パウリ行列を基にした複素行列状のベクトルでも同じように、掛け算することで回転が得られるのではないか。

確か前回、「ベクトルの風味が出るように、行列はエルミートに自由度を制約している」と自分で言っていたではないか。

つまり、行列をエルミートに制約すれば、ベクトルと同じように扱えるのではなかろうか。
 
  
まさにかければいいだけの話だったのである・・・。


しかし、行列を作用させる対象のベクトルが、2行2列の行列の形をしているのは、エクセルで扱ううえではなにかと都合が悪い。

しかし確か前回、「ベクトルの風味が出るように、行列はエルミートに自由度を制約している」と自分で言っていたではないか。

そうだそれだ！
行列の右半分だけ使えばいいのだ！

つまりこうなる。
  
 
表計算の縦に伸びる機能を利用して、横ベクトル対応型にするとこうなる。
行列の下半分だけ使えばいいのだ。
ただし、回転行列は左からではなく右からかけることに注意する。
 



なんとまあ1つの3次元を表すのにセルを2つしか使わなくて済むとは！
(ただし複素数であるが)
 
そのうえ、ベクトルの足し算、つまり平行移動の際にダミーの1次元を足さずに済む
(まあ、それが必ずしもいいこととは限らないが)



スカラー倍が困ったな・・・個別に操作するしかないのか？


でもそういえば、行列の性質上仕方ないとはいえ、縦ベクトルか横ベクトルかで、回転行列を右から掛け算するのか左から掛け算するのかが変わってくるの？

元の行列状のベクトル相手だったら、元来左右どっちから掛け算するもんなんだろう？？

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と思ったのもつかの間、実装してみるとうまく回転しないのである。y軸回転以外。
これじゃあただのベクトルの回転行列じゃないか！！！





何かの情報が足りない・・・。
そう思って、昨日の愚痴ブログで情報を整理していた。

パウリ行列とクォータニオンの関係は得られている
ロドリゲスと行列の指数関数の関係も得ている。

じゃあ欠けているのは、

パウリ・クォータニオン
と
ロドリゲス・行列指数関数

の関係性だ。


そこで、クォータニオンによる任意軸回転の式をもう一度眺めてみた。

Q=xI+yJ+zKと定義し
3つの虚数単位I、J、Kの間には
I^2=J^2=K^2=-1
IJ=-JI=K、JK=-KJ=I、KI=-IK=J
の関係があることを前提に

長さが1でnx、ny、nzの成分を持つ回転軸周りをΘだけ回転させるためには

C=cos(Θ/2)+(nxI+nyJ+nzK)sin(Θ/2)
をQの左から

Cの複素共役C*=cos(Θ/2)-(nxI+nyJ+nzK)sin(Θ/2)
をQの右から掛け算してやればいい。



昨日の寝る前にようやく気が付いた。
これ

これじゃねーかあああああ！！！！
(あ、Θを半分にし忘れてる)


ずっと目の前にいらっしゃったのに全然気づかなくてﾜﾛｽｗｗｗｗ

まあそういうわけで、前回のブログの最初に掲載した
 コレにようやくたどり着いたんです。
今度のはめでたく実装もうまくいきました＾＾



「両側からサンドイッチ」の理由をそんなんで納得していいのかって感じがしなくもない

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パウリ行列指数の交換法則とロドリゲスのラジオ体操

意外と早く復活できました＾＾ｂ

行列指数関数の交換(分配？)法則が一般に成立しないっていうのをパウリ行列を例に説明しようとすると、たぶんこうなる。

  
これが一般に成立するとは限らない。

パウリ行列を3つの虚数単位に相当させると、クォータニオンの代わりになるんだけど
 
座標の代わりに回転角を用いてやった行列指数関数ってのは、どうも回転行列になるらしい。
ただし、パウリ行列を用いることで、無理やり（？）3次元の自由度を実現している感じになる。
    
 
x2=yの値だけが純虚数に相当するようで、x1=xとx3=zは普通のベクトルに似ている。
(ただし、回転行列を作用させるのはベクトルではなく行列であり、行列のベクトル的な振る舞いの整合性を保つために、エルミート行列または歪エルミート行列でなければならないという自由度の制約がある)


それぞれのパウリ行列を指数関数に入れると、
上のような3種類の回転行列となるが

Πで結びつけた場合とΣで結びつけた場合とで、回転の様子が違ってくるということらしい。

Πで結びつけた場合は、まずx3=z軸での回転を行い、次にx2=y軸での回転、そして最後にx1=x軸での回転3つを行うイメージである。
ただし、時系列の順番ではなく、あくまで回転行列を作用させる順番であることに注意。
 
 
ラジオ体操第一でいうところの、最初の手の動きと最後の手の動きの違いといったところだろうか。
(わかりやすく3次元の回転行列を用いた式でいうと、

のθ1を動かしてからθ2を動かすか、θ1とθ2を同時に動かすかの違いである)
 
 
ところが、Σで結びつけた場合は、3軸の回転角に重みをつけて、任意軸周りの唯1つの回転といった、いわばロドリゲスの回転公式みたいな感じになっているようだ。
 
添え字つきの小文字のθx,y,zはそれぞれの軸の角運動量ベクトル、Θは3軸θベクトルの絶対値
nx,y,zはnベクトルの長さを1とする回転の法線ベクトルである。
 
(こういうとき、非規格化(つまりユニタリになってない)ブラ・ケットが計算の煩雑化を防いで重宝するんだよなぁ)


一般にΠとΣがイコールとは限らないと言ったが、もちろん一致する場合も存在する。
たとえばx軸、y軸、z軸単体での回転の場合、ΠとΣは一致する。
nx=1、ny=nz=0→Π=Σ
ny=1、nz=nx=0→Π=Σ
nz=1、nx=ny=0→Π=Σ





やっと青春の始まり　この(ラジオ)会館をあげたい　どこまでも伸びてゆく誇らしさ
やっと青春の始まり　この(ラジオ)会館が好きだよ

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あ～あ

パウリ行列指数関数のカテゴリの内容、一旦消しました・・・

やっぱりうまくいかないことがわかりました。
渾身の一作だと思ったんだけどなぁー

実装してみるとちゃんと回転しなかったんですよorz


exp(X)×exp(Y)=exp(X+Y)　とは限らないってのを

こんな風に、パウリ行列とクォータニオンと、岡部のラジオ体操とロドリゲスの回転公式を使って可視化したかったんですけどねえー
残念だったなぁー


ロドリゲスと行列指数関数はつながった。
クォータニオンとパウリ行列もつながった。
あとつながってないのは・・・クォータニオンとロドリゲス？
なんかこう、合体ロボがあったら全部合体させて終えたいじゃん
せっかくデジタルなんだし、捨てパーツなしで行きたいんだよ

クォータニオンによる任意軸回転が
どうして半分の角度ずつ複素共役を持ってきて、両側からサンドイッチするのか
余分なコサイン実数(単位行列)がどう効いてくるのかわからん


そもそもどうして、ロドリゲスの指数の肩はあの交代行列なんだろう？
実は、交代行列や歪エルミート行列の指数関数がユニタリになるっていうのは最近知った
（ような気がする。）

3×3行列の指数関数が3×3になるのは必然だし
実数のユニタリにするには、歪エルミートではだめで、交代行列にならざるを得ない
でもなんだろう、まだ決め手に欠けるというか、
これをどうやったらクォータニオンに応用できるのかがつながらない