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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
[1] [2] [3] [4]
もしかしたらわしゃ、とんでもないものに手を出そうとしてたのかもしれんのう・・・
このバグ表記みたいのが解読できればいいんじゃが



あ゛あ゛ーしまったー変数xは余計だったじゃねえかああああ


iの2乗とかいう表現が平然と出ている件について。
これはあれだな、変数にfとgを使ったからおせっかい機能が気を利かせてiも変数だと認識してしまったのかもしれない。
にもかかわらず、ωと一緒に勝手にiが出現している。
こっちのiは正真正銘の虚数単位だろう。まあ変数のiを翻訳して混ぜれば済む話だ。

それにしても2.7とか表記してるのはこれもやっぱりdとfとgを使ってるから遠慮してるのか?
それともシンプル表記を宣伝してるのか?つまり金を払えと・・・

むしろ
対角成分をa,b,c、非対角成分をz,y,x,w,・・・などとしたほうがよかったのかもしれないな

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昨日の日記において、4乗ループが成立するのは6通りと言ったが、8通りの間違いだった。

あれからもう少し分析を進めていったところ

昨日の日記のような4乗ループを仮に「狭義の4次元版ロドリゲス」と呼ぶことにして

狭義の4次元版ロドリゲス回転公式が成立するには

「反転置XOR」かつ「反対角XOR」である必要があるらしいことがわかった。


ちなみに「反対角行列」自体はすでに概念があるのに対し、「反転置行列」という概念はないらしい。

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おそらくはこれでいいのだろうが、行列指数関数の結果がいまいちわからない。


幸い?変数は6つある。6つあるうちの3つだけを選んで、ロドリゲスの回転公式が成立するのを確かめてみよう。


組み合わせは以下の6C3=20通りだ。


ロドリゲスの回転公式の行列指数関数を展開するにあたってポイントとなるのは
指数の中身になる行列Aの2乗が、マイナスのAそのものになることだ。
つまりもっといえば、4乗して元に戻る。(回転軸の法線ベクトルを規格化していたらの話)


そこで、10乗までして様子を見たところ、意外な結果となった。

20通りあるうちの、6通りしか、4乗して元に戻らないのだ。
それどころか、ほかの12通りでは、何乗しても戻りそうにない。

4乗ループが成立するのは、以下の3通りと、その転置行列を合わせた6通りらしい。
いやこれは転置ではなかったな。
通常用いる行列の対角線ではないもう1本の対角線を軸に対称にした3ペアだ。



最近改めて思い出したのだが、例示は理解の試金石ということだ。
何も、解析的に計算しているばかりが発見につながるわけではないわけで
このように、ある程度あてをつけながらs1~s6に一様乱数をぶちこんで
数値計算の様子を見るのも方法の一つなのだなと思い出させられた。


昨晩、scilabを導入していて思ったのだが
複素行列を簡単に大量に扱えるようになるといって、何のいいことがあろうか
と思っていたが、そんなのは遊んでみてから勝手に決まることだ。

個人的には複素数の構造体と、行列の配列・ポインタと愉快なラブ・ライブラリたちを作ることで理解する。
それが最優先事項というか、目的そのもののように思えてきてしまっていたのだが、
そうではない。

もちろんすでにある英知の結晶に劣るのはわかっているが、これを使って何ができるだろうと
考えるより産むがやすしだったのをすっかり忘れていた。

以前のように、ユニタリ行列に乱数をぶちこんで遊んでみればいいではないか。
それで結果が出るようであれば出るべくして出るし、出ないのなら仕方がない。


解析用のExcelファイルを置いておく。よかったら遊んでやってほしい
いつものように、空白セルを選択した上でdelボタンを乱射すると、一様乱数が再計算される仕組みになっている。
たぶん、その場で開くのではなく一旦DLしたほうが動くと思う。
DLしたら、保護されている「編集」をONにしてくれると数値が動くはずだ。
ダウンロード







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特殊ユニタリ生成子


ここに、SU(5)までの特殊ユニタリ生成子のgifがあるんですけど
このうちの、中身が純虚数でできているものは、σ2、σ5、σ7、σ10、σ12、σ14の6つだけなんです。

これをexp(iσn)としてテイラー展開すると、iσnが、中身実数の歪エルミート行列、
すなわち交代行列になるので
テイラー展開した行列指数関数も、中身が実数の行列になるはずです。

4次元の回転を求めたいので、4次行列までで制限しているのですが
どうして4次元なのに回転の変数が6つもあるのかといいますと
これは「回転」という概念が「2次元平面内で行われるもの」だからでして


たとえば3次元空間内での回転行列を思い出してみてください。
x,y,z軸それぞれを回転軸とした回転の場合、必ず、

このように何も変化させない軸がありましたよね?
こんな風にボンバーマンする軸が、3次元から4次元になった時、1本ではなく2本になるんです

cosとsinのペアしか入れられないので、当然、余ったところでボンバーせにゃならなくなるわけですよ

3次元だったら
cc1
c1c
1cc
の3パターンしかないですけど、これはたまたま3C2が3そのものだっただけで

4次元ともなると4とは限らず、4C2=6になるわけです。
cが2つ、1が2つ入った玉袋から、cのタマタマを2つ取る組み合わせなので、4C2です。ツーボールです。受け止めワンチュー。


まあだから、回転行列に分離してやれば、こんな風にボンバーされるんですよ。


しかしながら以下のラジ館<ノスタルジアドライブ>体操を見るとわかるように
 みやのなにしてるっすん

 宇宙に始まりはあるが終わりはない
ラジ館体操の始まりと終わりのプロローグと、終わりと始まりのプロローグは
違うんです。


これを行列指数関数の言葉で表すと
行列AとBについて、一般に
exp(A+B)=exp(A)exp(B)
とは限らない、つまり掛け算どころか足し算も逆転不可なんです!(ゆがみ姉)

だから
順番は多少異なるかもしれませんが
4次元においても、この等号は一般に成立しないんです。


3次元では下のような式をオイラー角、上のような式をロドリゲスの回転公式と呼んでいるようですが
おそらく4次元におけるロドリゲスの回転公式も存在するだろうと、現時点では考えています。

3次元ですらオイラー角による表記に一意性がなかったのだから
4次元以上においても、おそらく回転という概念は基本的に2次元平面内で行われるものだと考えられます。

なので、3軸や4軸がワンセットになった複雑な回転は考慮しなくてもいいと思うんです。たぶん


また、n次元でnC2ということは、
n角形の2頂点を線分で結ぶ組み合わせの数と同様に考えることができるでしょう。

そしてそのnC2という式はnC2=n(n-1)/2で表され
同時に1からn-1までの総和の式

と一致します。


そしてですね、面白いことにSO(n)だけでなく、SU(n)にもこの式はかかわっていて

たとえばSU(2)パウリ行列生成子の末っ子は√1で割り

SU(3)ゲルマン行列では√3で割り

SU(4)の生成子の末っ子σ15は√6で割り

SU(n)生成子の末っ子σn^2-1は√nC2で割るんです。

これは、対角要素の2乗和を2に保つためみたいです。ノルムとかいうやつですね



========
話は4次元の実数回転行列SO(4)に戻り
指数関数の肩に入る4次交代行列の6つの変数、右上がプラス、左下がマイナスでもいいっちゃいいのですが
ロドリゲスの回転公式の場合、おそらく右手系の維持のためだと思うんですが
右上の符号は3つ中1つが反転してるんです。


ということは、4次元版のロドリゲスの回転公式でも、右手系みたいなのを定義するべきなのか?とも思ったんですが
三角形の場合は中に三角形が1つしか作れないのに対して
四角形の中には三角形が3通り作れちゃうのです。
そうしたら、どこをどのように右手系、というような定義ができなくなるのではないかと
ちょっと危惧しているのです。


あと心配なのは、3次元では回転トルクの単位ベクトルを決めることで規格化が完全に行われていました。
θx^2+θy^2+θz^2=1


ところが、四次元では変数が6つにもなる上
θ2θ3のような項も出てきそうなので
単位ベクトルのほかに何かしら別の縛りがないと、うまくまとまらないのではないかと思うんです。


どこかのサイトで噂程度に耳にした話ですが
4次元の回転では、任意軸が2本になるそうです。
これは、「四角形は2つの三角形に分けられるよ」と同値と捉えて問題ないのでしょうか
そこらへんも心配ですねえ
5次元だったら五角形の内角の和みたいに、任意軸が何本になるよと、そういう解釈でいいのかどうか・・・

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さっきおとといの続きです。

実は、ユニタリ行列というのは、複素数に拡張した回転行列のようなものでして

回転というからには、「回転させる元のベクトルの大きさを変えない」という特徴があります。

n次のユニタリにはn^2-1個の自由度があるのですが

n^2-1、つまりn=4だと実質15次元空間内のベクトルの大きさを変えずに向きだけ変えるという意味なので、回転面とその法線ベクトルに分解することができ、その法線ベクトル自身も、向きと大きさに分けることができます。
3次元空間の回転行列の回転軸を任意に拡張した「ロドリゲスの回転公式」や「クォータニオンによる任意軸回転」と似たような感じで、回転をトルクのようなベクトルで考えると、そのベクトルの向きが回転軸に相当し、ベクトルの大きさが回転量に相当するわけです。


よって、向きだけ考えたい場合、単位法線ベクトルを考えるため 
ノルムを1に定義できるのです。


という制約をつけると、固有値を求める4次方程式はより見通しがよくなりまして


このような形で書けます。

ノルムというのがピタゴラスやフェルマーあたりからの帰結から、2乗に縁があることと次元解析から推測するに、

一般化したn次のユニタリ生成子のエルミート行列の固有値においても
 
このような形になりそうな経験則があるようです。
まあ、エルミート行列による全固有値実数の要請から、2次下がった項の係数がマイナスってのはなんとなくわかるし
マイナスの1ってのももちろん、たった今までのくだりでわかるだろうし

1次下がった項の係数がゼロってのも、カルダノやフェラーリの方法を見てるとなんとなくわかりそうな気もしますね

また、全固有値が実数に収まるように、各係数amの上限や下限があるはずです。
まあそこはいいとして


実際に15個のθを規格化してみましょう。


この図の、オレンジ色のセルは、-π~πの範囲で一様な疑似乱数を出力し、ユニタリ生成子のエルミート行列に反映させています。

これから、これらを規格化します。
まず、1つ右隣にコピペしましょう。それから、元の疑似乱数の数値を削除し、書式の塗りつぶしを、「薄い緑」にでもしておきます。

次に、
θ1~15の2乗和のルートを、下に追加しましょう。
sqrt(sumsq(θ1:θ15))です。

さらに、薄い緑のセル群に、「オレンジ色(相対参照)/2乗和平方根(絶対参照)」を反映させれば
規格化完了です。

確認のため、規格化した15個のθの2乗和平方根を取ってみましょう。1になるはずです。(平均しない実効値rms)


ちょっと見やすくしてみました。グラフのスケールもだいぶコンパクトになってます。


 
この、規格化した状態で
行列式の値から、λの4乗を引いて、λの2乗を足してみますと

ただの直線になります。
y=ax+bの形のアレです

つまり、規格化した状態ではn次の係数は1、n-1次の係数は0、n-2次の係数は-1と、定まってしまうのです。

 
 
 
実際に4次のユニタリ生成子から4次方程式の各係数を抽出するのはかなり煩雑
というか僕には無理だったのでバッサリ切り捨てまして
多項式フィッティングの最小自乗法を使えば係数を求めることができてしまうのです。

与えられてる関数としては、直線の傾きと切片を求める関数「slope」と「intercept」しかないみたいなので、4次まではOK、
5次以上のユニタリ生成子を調べたいときは
2次以上の多項式についての最小自乗法を行う関数かなにかを作らなければならないかもしれません


改良したExcelファイルを置いておきますので、自由にDLして遊んでみてください。^^




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昨日2016/6/19の続きで、いよいよ固有値をてさぐる段階に入ります。

てさぐり固有値の最低値と刻み幅を決める枠を設けておきましょう。

あとから自由に変えることができます。

次に、固有値をてさぐる枠の上に、生成子のエルミート行列を載せて、行番号と列番号のラベルを貼ります



「a11-λ」~「a44-λ」という4つの枠を設け、実際に引き算します。
対角成分は実数なので、imsub関数を使う必要はありません。
ただ、a11~a44の参照は絶対参照、λは相対参照にしておく必要があります。

4列くらい挿入し、余因子を並べます。このとき、固有値をてさぐる領域のすぐ上の行列からではなく、元来の4次行列から参照してください。作業が煩雑になってしまいますので。
配列関数の場合、配列を無理やり引きちぎろうとするとエラーになりますが
あくまで手動で配列関数のまねごとをやっているだけなので、特に何も注意されません。

このとき、a11-λ~a44-λは左端によせまとめておきます。

余因子が3次の行列なのでサラスの方法を使ってしまいます。

さらに8列ほど挿入しましょう。

improductを使って、プラスとマイナスの3つずつ6個の項を設け、imsumとimsubを使って3つのプラスから3つのマイナスを引き、小さな行列式を形成します。
いっぺんにやってもいいですが、パソコンのスペックはこれくらいではおそらくびくともしないので
ケアレスミスを防ぎたければセルをたくさん使ったほうが堅実かと思います。
 

1行目1列目に対する余因子もまたエルミート行列なので、小行列式がほぼ実数になることがわかるかと思います。
 
 
絶対参照と相対参照(あるいは複合参照)を使い分けましょう。

1行目1列目a11そのものではなく、a11-λを小行列式に掛け算するところなどに注意です。

また、複素数ライブラリの出力は文字列扱いなので、小行列式が実数のように見えても、そのまま掛け算ができません。面倒かもしれませんが、improduct関数を使います。

 

適切に列を挿入・削除し、1列目の計算をなるべく少ない行数・列数に整頓します。
 
 
2列目以降も、相対参照と絶対参照を使いわけて、慎重にセル参照を行いましょう。


それぞれ、地に白文字の部分が、赤文字a33-λ橙文字a22-λ緑文字a33-λ青文字a44-λに置き換わります。
また、てさぐり固有値を含む場合は、部分的に絶対参照や複合参照を組み合わせないと、正しい値が出ません。
数度試行しても実数しか出ない要素が「てさぐり固有値」に置き換える対象の目安となります。

その上、昨日も言った通り、偶数列目の列代表値の値は符号を反転する必要もあるので注意してください。



こまごまやって、出した4次の行列式はこのようになります。虚部がほぼゼロなのを確認しておいてimrealで実部をとり文字から数値に戻してから、列の切り取りと貼り付けで、固有値のすぐ右に移動させます。
 

それから、横軸にてさぐり固有値、縦軸に四次の(てさぐり固有値を反映した)行列式をプロットすると
ほぼ4か所(重複していれば2~3か所)の零点を通る実数の4次関数が描かれるはずです。


θ1~15は、-π~πの間の一様疑似乱数です。

ここまでのExcelファイルをアップロードしておきます。
マクロはまだ組んでいません。

怪しいものではないので、DL後にナンチャラを許可して、適当な空白セルでdelボタンを連打してみると動くはずです


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ユニタリ生成子は次のようになります。



見通しがよくなるように、次のように書き換えておきましょう。
 

これを、セルに実装してみます。

最終目的としては、このエルミート行列に-iをかけた歪エルミート行列を行列指数関数に放り込んで、高次元のユニタリ行列(回転行列のようなもの)にするのが目標なので
θ1からθ15までの値は、すべて-π~πの中に納まるはずです。

そこで、とりあえずの処置として、疑似乱数rand()関数を使います。
rand関数は0~1の一様乱数なので、1/2を引いてからπをかけるとよいでしょう。


次に、複素数a~fと、実数w~zを定めます。
a*などのアスタリスクのついた複素数は、複素共役を意味します。
たとえば、b*はbの複素共役ですので

a=complex(θ1,θ2)などというように、a~fを定め
それぞれの複素共役は、imconjugate(a)といった風に実装します。

また、x=θ8/√3、y=θ15/sqrt(6)です。

aとb、bとcなどはセル1個分ずれているのに対し、θ1、2ペアとθ4、5ペアがセル2~3個分ずれているので、2~3個下にいったんコピペーしてから、上に戻すようにカッペーしてやると効率がいいです。
セルの乳首をつまむと、参照した部分が赤面するので、ぶっこんだごとに、どこの穴を参照したのか、色を当てにして確認するとよいでしょう






できあがった行列がこれです
 

エクセルのエンジニアリング関数に入っている、複素数のためのライブラリ関数は
なぜか1つのセルに複素数を文字列として詰め込む仕様なので
あまりうまく整って出力されません。
今回は、見やすいように小数点以下1桁までで表示してます。

せめて、行列のように配列関数であるとありがたいのですが・・・


また、行列のためのライブラリ関数とも相性が悪いので、複素行列が扱えない仕様となっております。


そのため、行列の基本演算を、手動で行っていくことにします。


固有値を出す前に、腕慣らしとして、この4次行列の行列式を求めてみましょう。
4行4列の場合は、サラスの公式が使えないので、3次になるまで余因子展開を行いましょう。

ここでは、1行目に着目して、
1列目の余因子、2列目の余因子、3列目の余因子、4列目の余因子を算出し
そこからサラスの方法を用いて行列式を出してから
合計して4次本来の行列式を求める方法をとります。


まず
1行目の1列目から4列目の数値を右側に参照して出しておきます。
 

それから、余因子展開ができるように、「列の追加」で、
それぞれの列を参照したスペース同士の間に隙間を作っておきます。
2列ずつ追加になりますね。
 

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各列の代表の下に、余因子を並べていくと、次のようになります
 

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3次の行列式になったので、もうサラスの方法が使えます。
複素数の掛け算improductを使って、掛け算しましょう。
プラスの掛け算と、マイナスの掛け算がそれぞれ3項ずつあるはずです。

 

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3要素の掛け算が3セット出そろったら、プラスからマイナスを引きます。
imsub関数を使います。この関数は二項演算用です。

プラスからマイナスを引いた3つの複素数が算出されたら、その3つを足しましょう。
imsum関数を使います。この関数はimproduct関数同様、二項ではなく多項演算用の関数です。

それから、各列の代表値を再度表示するのですが、1行目1列目から数えて奇数回隣に移ったものの符号はマイナスなので、そこに注意。

 
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たとえば、2列目と4列目の代表、赤の印をつけたところは符号を反転させています。
imsub(0,なんとか)
といった使い方をしてます

そして最後に、符号も考慮した各列の代表×3次の行列式を4列すべて足せば
4行4列の複素行列の行列式が出せます。


エルミート行列の固有値はすべて実数なので
行列式もちゃんと実数になっている(ちょっと誤差あるけど)ことがわかるかと思います。



これは、あくまで行列式を求める計算を、腕慣らしに行っただけなのですが
次はいよいよ、
固有値を求めてみましょう。


固有値をいろいろ変えて、てさぐってみるイメージなのですが
お気づきの方もいるかと思いますが
固有値をてさぐらせるために行の部分を使ってしまうため
残りの演算をすべて1行にまとめてしまわなくてはいけません。

これをコピペーで行うには煩雑で、参照ミスもたくさん出てしまいがちなので
こういうときに役に立つのがカッペーです。

カッペーは、コピペーとは違って、セルの内容ではなくポインタを移動させる方法をとるため
絶対参照にしなくとも、セル参照のズレが起きません。

その代わり、リファレンスエラーが起きやすいデメリットもあります。
操作を間違えた場合は、手動で治すよりも、「元に戻す」を行ったほうが間違いが少なくてすみます。


つづく

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仮説の段階なのでまだなんとも言えないのですが
いやだからこそこういうことを仕方なくやっているのですが

もしこのモデルが正しいのであれば、半径は固定なのだから、
 15個ある4次の特殊ユニタリ生成子をランダムに出してやってる間に
4つの固有値のうち、もっとも絶対値が大きくなるものを試行錯誤して暫定で出してやり、
それを半径とした上で、角度の関係を数値的に予想する
という手法はとれると思います


問題があるとすれば、、角度がゼロになりえないように2つの係数とエルミート行列が結託して企んでいるとしたら
エセ半径しか算出できませんけどね・・・


やっぱ天気が悪いと調子もガクッと落ちますなあ
まあ、ここんとこ多忙だったせいもあるんですが。

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3次までのイメージを共有したところで、
新しい物理法則のあり方を
一緒に考えてみよう!\カーン/





2次~パウリ行列~



3次~ゲルマン行列~

画像はイメージです。実際には左右の固有値が対応していない場合があります



4次だったらこのように、


画像はイメージでry


半径と初期位相の2つが可変で、4つの固有値の間には90°の絆が深く結ばれているんだろうかと思ったこともありましたが、このモデルだと常に固有値の対称性が保たれてしまうのでたぶんNG



画像はイメーry

じゃあ、半径は固定だけども、180°ごとにペアがあって、2つの初期位相が可変なんだろうかとも思いましたが、これも対称性が高すぎるのでたぶんNG


そうしたら、残された可能性はこれしかないかも。


画像はry

半径は固定、ペアは180°ではなく90°の絆が結ばれたペアが2対なのではないか。
これだったら対称性はより低くなりそうです


また、5次以上の特殊ユニタリ生成子の固有値を考えるうえでも、同様の理屈が拡張できそうです

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なんとなくですけどね

4次方程式を解く際に、入れ子になった3次方程式と2次方程式を解くじゃないですか。

とりわけ、規格化とか標準化とかされて、3次の項は消えて、2次の係数は-1ですし

3分角の定理は半角の定理ほど綺麗にはならないといっても
こういうときにこそ使えるんじゃないかってなんとなく思うんですよね

内部で使った3次方程式の解で、円を3等分したんですが
4次方程式本体の式に戻ってきたときに
これをいったん3倍して、それから4等分しなおすんじゃないかって気がしてならないんですよ

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たぶんこうなると思います。

n-1次が必ず消えて
(3次と4次の方程式の解の公式が、それぞれ2次と3次の項を消すように促しているため)
n-2次の係数が必ず-1(n^2-1個の変数の2乗和:n^2-1次元空間のノルムが1になるように規格化)
(ノルムが2乗なので、n-2次の項の係数だろうj次元解析的にk考えて)

n-3次以降の係数はある程度任意になりますが
生成子がエルミートなので、必ず実数解になるように定まるはずです。

ということは
n-3次以降の多項式を固有値λで微分した多項式A'=0(極大・極小)になるような条件の多項式Aの、絶対値の小さい順に2つ選ぶとそれが必ず実数になってくれるんじゃないかな(x軸を必ずみんながまたぐ条件、たぶん)

7:39追記
まだ調整途中(解析解すら出していない)なんでなんとも言えないんですが4次方程式の場合

おそらくは、この「ほぼ」縦の線(紫)が「キッチリ」縦の線になるように、円の半径とその角度が定まると思うんです。

うち2つずつがペアで、2対の関係がどうなるか。
・半径が2種類の2つの円になって90°刻み4分割を保つ
あるいは
・円の半径は固定で、90°ずつのルールが壊れて、180°ずつになる
かのどちらかだと思うのです。

どちらにせよ、この4次方程式の場合は係数の自由度が2つあるので、パラメータも2つだと思います。半径1,2か、角度1,2かのどちらか。1つでは無理があるよなあやっぱ


もし5次方程式(5次の生成子行列)に拡張する場合を考えると(エルミートなのでたぶん代数的に解けるパティーンになるはずだし、その解はすべて実数)
半径が3つか偏角が3つ、どっちがいいのかなぁ
半径のほうが合理的なような気もする。360°を5分割した3種類の同心円
あ、5分割ってことは、代数的ではないかもしれんね

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思った通りだ。

固有値を求める4次方程式に、3次の項がない。
それと、15個の変数を規格化すると、2次の項の係数が-1(マイナスのノルム)になる。
動くのは0次と1次の係数だけ。

これは解析解を計算する際に大きな指針となるな。



あとこれは推測でしかないけど、
 
3次だったらこんな風に、円を任意の角度を基準に3等分して、そのx軸への射影が固有値になってるから、非対称になりえるんだと思う。

4次だったら4分割、5次だったら5分割などなどになって2次だったら2分割なんだけど、
基準角がいくらであっても左右対称になるから、固有値が2次だけ例外的に対称になったと解釈できるんじゃないかな












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ああそうそう、昨日の続きを書き忘れてました。ゲルマン行列の8つの変数を8次元と捉えて
8次元空間の回転と捉えるならば、8つの変数のノルムは1、つまり単位ベクトルで構わないのではないかと思いましてね、規格化してみたんです。

そうするとp=1になるわけで
解はとりあえずこんな風に簡略化されますね。

それから、やっぱり関数の中に「、(カンマ)」が入っているというのは数学的に気持ち悪いじゃないですか。

式をよく見ると、アークタンジェントの中身、横軸はプラスにもマイナスにもなりえますが、
縦軸はプラスにしかなりえませんよね。
そこでアークコサインの出番ですよ

ここまで簡略化できました。^^
3分角?の定理は整わないらしいので、2πn/3との加法定理ともどもやめましたw

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8種類のゲルマン行列の線形結合

の固有値は



以下の3次方程式を解くことで得られます。(5/15日記参照)

係数をすべて実数にすることができました。
また、エルミート行列の固有値なので、すべて実数である保証があります。

カルダノの公式を参考にすると


(※注意:後述しますがpの符号を逆にしてます)


  の解は
u,vをそれぞれ
 
とすると、(複号同順)

λ=u+v、wu+w*v、w*u+wv
となります。wというのは1の複素3乗根の1つで、w=(-1+i√(3))/2です。
また、wの2乗はwの共役複素数w*でもあります。

この求めたλがすべて実数であるためには、
uとvが複素共役の関係、つまりu*=vである必要があり、

また、そのために が純虚数である必要があるため、
が成り立つ必要があります。そのため、今後はuとvを

  と表記することにします。

まず、u+vを求めてみましょう。

そのためにはuとvの3乗からuとvそのものを求めなければいけません。
このようなべき乗・べき乗根を求める際に、極座標表示が役に立ちます。


数値で計算する際の注意として、アークタンジェントは横のデータと縦のデータといった、変数が1つではなく2つの、atan2のほうを使ったほうがバグが少なくて済みます。
ただのatanは例外処理をするポイントがたくさんあるのです。
横=0の場合や、横が負の場合、横も縦もゼロの場合など

このuとvのそれぞれ3乗の3乗根を取ってuとvそのものにしたいので

大きさは単純に3乗根を取り、
expの中身は3等分します。

ここでも注意が必要で、複素n乗根は一般に多価となり、n個出てくるはずなのです。
そのため、nを0~2の整数として


このように扱ってやる必要があり
このuとvの組み合わせの中から、uv-p=0(符号に注意)となるものを選ばないと、正しい解は得られません。

よって、まず固有値の1つであるu+vは、n=0だとuv-p=0になるので
 

となります。

さて残りの2つを求めましょう。

wu+w*vを求めようと思いますが、実はwuというのはn=1のuのことで
w*vというのも、n=2のvのことなので

こうなります。
 

同様に、w*u+wvも、w*uはn=2のu、wvはn=1のvなので

となって、まとめると

固有値λはnを0~2の整数として

このように表すことができます。


3次方程式のpの符号を変えたのは、ルートの中身がオールマイナスだと気持ちが悪いからというのもあるのですが

pというのは実は5/15日記
を見るとわかるとおり
p=3Z+X+A+B+Cとなっていて、これが何を意味するのかといいますと
θ1からθ8までの2乗和、つまり8次元空間のノルム(長さ・絶対値)のことなのです。
また、必ずプラスの値です。

その上、エルミート行列の固有値の性質から


なので、3分のpの3乗は0よりも大きく、なおかつ、2分のqの2乗よりも大きくなければいけません。
係数は実数の範囲内なので、2分のqの2乗も必ずプラスです。

つまり、(p/3)^3>0よりも(p/3)^3>(q/2)^2のほうが常にキツい条件となります。


この固有値が0、±Aといった形の対称な値を取るには、
q=0である必要があります。
q=0であるためには、対角成分X=Z=0で、なおかつ非対角成分が純虚数である必要があるようです。

これの意味するところは、θ1=θ4=θ6=θ8=0なので、

このエルミート行列H,というより交代行列iH

指数関数に入れた際、
3次元の任意軸回転である「ロドリゲスの公式」になるよということです。
もはや特殊ユニタリ群SU(3)ではなく特殊回転群SO(3)になっているのです。

なるほど、これだと確かに、特殊ユニタリSU(2)(パウリ行列系)と等価なので、固有値は±Aという形になって非対称になりませんね。



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前にもやったことがあるけど、今回、ちょっと新しい収穫があったので再度載せる。


このような8つのゲルマン行列σの線形結合H=Σ(σj×θj)
の固有値λを求めるには

det(H-λE)=0が条件であるが



a=θ1+iθ2、b=θ4-iθ5、c=θ6+iθ7、x=θ3、z=θ8/√(3)とおくことで、
 
少し見通しがよくなった。

|a|^2=A、|b|^2=B、|c|^2=Cとおくことで
 
このように簡略表現できる。

また、以下のように置くことで、cosを使ってさらに簡略表記できる。



これを展開するのは骨が折れるが
結果だけ示すと、以下のような、2次の項の抜けた3次方程式にすることができる。



これをカルダノの公式に入れれば、解として固有値が得られるが
元来エルミート行列の固有値はすべて実数であるため

リンク先wikiにあるuとvは複素共役であることが確認できる。

y^3+py+q=0の3次方程式の場合

pとqはこのようになるが、

pの中身の変数はすべて大文字であるため、p<0である。

この状態で、uとvが複素共役の関係であるためにはu^3とv^3を表す


の、根号の中身 が負で、√が純虚数である必要があるだろう。


まあ、ここでようやく、「エルミート行列の固有値が実数」という検算ができただけなのだが

3行3列以上のエルミート行列では
固有値λがλ=(0)、±Aといったように正負が対称になるとは限らないらしい。


どうも、この辺にCP対称性の自発的破れが関係しているように思えるのだが
詳しいことはまだ学習中である。

上記のwikiによると、3行3列のエルミート行列では複素位相が1つだけ出てくるらしい


それはもしかして、上の図のように、n行n列のエルミートの行列指数関数n個を掛け算する際に、SO(n)とユニタリSU(n)が混じってて、3行3列の場合は、3つのうち1つだけがユニタリ行列SUになって、残りが実数の回転行列SOになるということなのだろうか。


だとしたら、一般的なn行n列の場合
生成子を線形結合した行列の指数関数が、n個のSUとSOの掛け算になって
そのうち(n-1)(n-2)/2個だけが、ユニタリSUになって、残りがSOになり
掛け算の順序は特に気にしなくていいということだろうか。

たとえば4行4列だったら4個のSUとSOのうち、3個がSUということになるだろう。
5行5列だったら5個のSUとSOのうち、6個がSU・・・??5個を軽々と上回ってしまった
いくつ掛け算すればいいのだろうか


あ~、4行4列だったら4個ではなく4C2=6個(うち3個がSU、残り3個がSOかな)
5行5列だったら5C2=10個掛け算すればいいのか。(うち6個がSU、4個がSOかな)


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たとえばSU(2)だったら
 

トレースがゼロではない・・・トレースがゼロではない・・・トレハロースがセロリではない・・・



そういえばうろ覚えですが、対称性の自発的破れって、ゲルマン行列SU(3)のexp{iΣ(σjθj)} (j=1~8)の算出結果にexp(iw)成分が発生して、特殊ユニタリが一般ユニタリになること、でしたっけ?
j=0からではなくj=1から足し算してるにも関わらず、トレースがゼロにならない現象じゃなかったでしたっけ?
あ、そうだ思い出した。exp(iΣ)の対数を取ってみたいんでした。このln[exp{iΣ}]のトレースがゼロじゃなかったらほぼ確定?

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