波束と速度

シュレディンガー方程式に従う自由粒子の場合

エネルギーEは運動量pの2乗に比例してE=p^2/(2m)　(mは質量)
さらに運動量を波数k[rad/m]で表すと、p=ħkなので、E=(ħk)^2/(2m)


他方、エネルギーEは角振動数ω[rad/s]にも比例するから、ディラック定数をħとして
E=ħω

つなげると

ħω=(ħk)^2/(2m)
ω=ħk^2/(2m)

こういう分散関係を天然に持っているということがわかる。

ωをkで素直に割ったものを位相速度という。vp=ω/k=ħk/(2m)
一方、ωをkで微分したものを群速度という。vg=dω/dk=ħk/m


少なくとも、量子力学的な波、つまりドブロイ波の自由粒子に関しては
位相速度のほうが群速度よりも遅いらしい。


つまり、こういう2つの波を重ね合わせた場合、
分散関係の図ではこの2箇所の平均をゼロから伸ばした線の傾きが位相速度で
2箇所界隈の接線の傾きが群速度なのだから、群速度のほうが速いのは当たり前ということになる。
こういう分散関係なんだから。


 
実際に重ねあわせてみるとこうなる。
たった2つの波を重ね合わせただけで波束ができる。
1つの波だけではドブロイ波の場合、どこに粒子がいるのかという情報は得られない。
2つ以上合わせて始めて、「このへんにいそう」と分析することができる。
その代わり、この粒子の運動量(または速度)を測ろうとすると、本質的に2種類のどっちか曖昧になる。

ハイゼンベルクさんの不確定性関係の言いたいのは本来そういうことらしい。(小澤さんのはよくしらん)




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よく相対論などで、位相速度が光速を超えちゃったけど大丈夫！？なんて話を耳にするが

ドブロイ波、とりわけ自由粒子の場合はそうはならず、むしろ逆らしい。


ただ、波にも色々あるように、分散関係にも色々あって


こんなω∝kの1乗を境に、位相速度のほうが速かったり、遅かったりするようだ。


また、群速度と位相速度の向きが逆、なんてことも理論的にはありうる。
実際問題は知らん。





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ただ、自由粒子が天然だからそれが一番もっともらしいかというとどうもそうでもないようで
ポテンシャル次第でド・ブロイ波でも色んな分散関係が作れる・・・んじゃ・・・ないかな。たぶん




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だから、一般的に、そんなに分散関係について深く考える必要はないらしく
簡略化したω∝kのモデルで考えるときには考えてもいいのかもしれない
大きさのスケールを変えてみたらどうなるかな。。。




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ちなみに
三角関数はあくまで複素な波動関数の影しか見てない状態なので
(自由粒子の)波動関数に本来あるべき、複素の状態で波束を表現してみたのがコレ。
クロワッサンじゃないよ！

ω∝k^2
 

ω∝k^(1/2)


ω∝k^1
 

vgとvpが逆向き





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このためにフーリエ変換をやる羽目になりそうだったが、逃亡してやったｗｗｗ

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