AL：今月7日の平成教育学院の積分の問題、回答例その1(あるみ)

昨日のの熱血平成教育学院
∫₀^πe^x・sin²(x)dx＞8
を証明せよ



加法定理より
2sin²(x)=1-cos(2x)
が証明できるので
予式＝∫(e^x-e^x・cos(2x))dx/2　(0～π)

e^xcos(2x)＝Iと置くと
部分積分を行ってIについての方程式を解くことにより
I=e^x(cos(2x)+sin(2x))/5
となるのでこれを予式の第2項に代入する

予式＝[e^x(5-cos(2x)-sin(2x))]₀^π/10
＝(e^π(5-cos(2π)-sin(2π)))-(e⁰(5-cos(0)-sin(0)))/10
＝4(e^π-1)/10
これが＞8なので不等式を解くと
e^π＞21となり、(司会が与えたヒントと同じ)

e^π≒2.72^3.14≒23となり21より大きい
以上証明終わり



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