BL：今月7日の平成教育学院の積分の問題の回答例その2(某伊豆裸部)

おとといの熱血平成教育学院
∫₀^πe^x・sin²(x)dx＞8
を証明せよ

回答例その2：複素数を使った方法
オイラーの公式
e^x=cos(x)+i・sin(x)
の変形の
cos(x)=(e^ix+e^-ix)/2
sin(x)=(e^ix-e^-ix)/(2i)
を利用する。
これを利用すると加法定理も部分積分も用いずに済む。

予式＝∫₀^πe^x・((e^ix-e^-ix)/(2i))²dx
=∫₀^π(2e^x-e^(1+i2)x+e^(1-i2)x)dx/4
それぞれの項が指数関数1つでできているので積分がしやすい
=[2e^x-e^(1+i2)x/(1+i2)+e^(1-i2)x/(1-i2)]₀^π/4
=[2e^x-e^xe^i2x/(1+i2)+e^xe^-i2x/(1-i2)]₀^π/4
=[2e^x-(1-i2)e^xe^i2x/5+(1+i2)e^xe^-i2x/5]₀^π/4
=[2e^x-(e^xe^i2x/5-i2e^xe^i2x/5)+(e^xe^-i2x/5+i2e^xe^-i2x/5)]₀^π/4
=[e^x(2-e^i2x/5+2e^i2x/5+e^-i2x/5+i2e^-i2x/5)]₀^π/4

並べ替えて指数関数を三角関数に直す
=[e^x(2-2cos(2x)/5+4sin(2x)/5)]₀^π/4
=[e^x(5-cos(2x)+2sin(2x))]₀^π/10
=(e^π(5-cos(2π)+2sin(2π)))-(e⁰(5-cos(0)+2sin(0)))/10
=2(e^π-1)/5
 
これが＞8なので不等式を解くと
e^π＞21となり、(司会が与えたヒントと同じ)

e^π≒2.72^3.14≒23となり21より大きい
以上証明終わり


この問題がどんなところに顔を出すかってのを思い出してみたんだが
式の形は少し違ってくるにしろ、
減衰振動する正弦波信号の半周期分の電力あるいはエネルギーを出すときとかに出てくるんじゃないだろうか。
機械にしろ電気にしろね

こういう、
指数関数と三角関数の積の積分は部分積分を使いますよ
とか
三角関数のべき乗の積分は加法定理やら倍角の公式やらを使いますよ
とか合わせて言いたい問題とちゃうん

複素数使うたら元も子も内燃けどケアレスミスも多いやもしれんで



にほんブログ村