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20080511～
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
って、そういうわけでもないのかもしれない。
そもそも1つ次元を上げれば済むんじゃまいかと思ったのは 2次元のゆがみを3次元でソックリ表現できていたことに起因する。 地図と地球儀の関係のように 歪んだ平面は、立体の中にキッチリと納まる。 しかし、おそらくそれは2次元だったからできたことであり 3次元以上の歪んだ空間をソックリそのまま1次元上げれば解決するというものでもないのかもしれない でなければ、アインシュタイン方程式が10元連立方程式になるわけがなく せいぜい5元程度になるのではないか。 相対論に出てくるテンソル、というか行列みたいなアレは 4行4列の正方行列で、三角行列でもある。 この中に独立な変数が5個ではなく10個あることから 自由度が10個あることがわかり 少なくとも自由度の観点から見る限りでは 5次元で済む話ではないことがわかるような気がする。 これが歪んだ2次元だったら自由度はガチで3つなんだ。 だから、自由度としても3次元で あたかも歪んだn次元はノーマルなn+1次元で解決可能というような錯覚を起こさせてしまう。 しかし、歪んだ3次元ですら独立な変数が6つあり、 これをノーマルな空間としてあらわすには自由度としては6次元必要になってしまう。 さらに決定的なのは、歪んだ1次元というのは存在できない。だから2次元への拡張のしようがない。 歪みようがないわけだ。1次元しかないのだから。 たぶん、そういうことだと思う。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ところで、熱と重力には今現在あまり密な関係は特に見て取れないが 「時間」を媒介させると、何か関係がありそうな気もしないでもない。 熱も重力も一元論的でありながら様々な現象を表現可能だったり、 フェールセーフが出来ずに一方向的に暴走気味なところもなんとなく似ているように思える。 本当に疎遠な関係なのだろうか。  にほんブログ村
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相対論ではミンコフスキー時空が円錐曲線ですが
ニュートン力学では惑星の軌道なんかがそれに当たりますね。 たとえば太陽のような大質量の天体からの重力を受けて移動する小質量の惑星などの天体の動きをシミュレートする場合なんかは 運動方程式 mdv/dt=-GmM/r^2 dr/dt=v の連立1階微分方程式が使えます。(2階の微分方程式1本と見なしてもいいです) ここで、回転運動の場合は角運動量保存の観点から、回転軸が変化しないと判断して 2次元平面内での移動を考えるだけで十分なので 太陽からの距離ベクトルrをr(x,y)といった風に、xとyだけで記述が可能です。 また、数値シミュレーションの際には極座標を取る必要がないため 微分の複雑な式展開はさほど必要ではありません。 先ほどの式をrの代わりにxとyで表現すると r^2=x^2+y^2なので m・dvx/dt=-GmMx/√(x^2+y^2)^3 m・dvy/dt=-GmMy/√(x^2+y^2)^3 dx/dt=vx dy/dt=vy この4本の式だけでシミュレーション可能です。 この際、働いている力が重力であるため、移動する天体の質量mは式から分離できます。 dv/dtの微分を(v2-v1)/dt dx/dtを(x2-x1)/dtなどと差分の形で書き換えると 上の4本の式は vx2=vx1-GMxdt/√(x^2+y^2)^3 vy2=vy1-GMydt/√(x^2+y^2)^3 x2=x1+vxdt y2=y1+vydt となり、1つ前の位置や速度を用いて次の速度や位置を逐一計算する形でシミュレーションが可能です。 初期値は位置と速度のそれぞれx成分とy成分の4つが決まればOKなのですが 初期位置と初速度が直交していればだいたいOKなので、単純化させると位置(0,y0)、速度(vx0,0)で軌道が描けます。 でこの位置rと速度vの関係ですが 力学的エネルギー保存則の観点から 力学的エネルギー：運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の合計 mv^2/2-GMm/rが負になれば惑星のような楕円軌道を維持できます。 m(vx^2+vy^2)/2-GMm/√(x^2+y^2)＜0 vx0^2/2-GM/y0＜0 の初期条件なら安定軌道の惑星 と、書き直すことができます。 ※ ポテンシャルは力-GmM/r^2のrを＋∞からr1まで持ってくるだけの積分なので -(-GMm∫1/r^2dr) (積分範囲 r：∞～r1) =-GMm/r1 となって、r1をrに置き換えなおすと -GMm/r となります。 vx^2/2-GM/y0=aとして、aが-1から1まで変化したときの軌道の状態を図示してみると a>0で楕円 a=0で放物線 a<0で双曲線の軌道を描いていることがわかると思います。 まさに離心率や円錐を色んな角度でぶった切った断面の形に相当しています。  にほんブログ村
先日の日記にも書いたんですが
数学ってのはやぶのどこをつついても蛇が出てくる危うさがまたたまらんでして 円を描こうと思っていたらいつの間にか反比例のグラフになっていたぜ･･･！ 何が起こったのかわｒｙ みたいなことがちょくちょくおきるんすわ 元々双曲線について理解を深めている最中にこのやぶへびの関係を知りましてん 知りましたん。 相対論にミンコフスキー空間(ミンコフスキー時空)という作図、というか計算尺のような表現がありましてね 軸は斜めに交わるわ縮尺はおかしくなるわで 最初何がなんだかよくわからなかったんですわ これがなんで双曲線になるのかっていうのが 4次元時空の時間だけ「あなたとは違うんです次元」っていうのに関係してましてね ピタゴラスの定理ってあるじゃないですか。 三平方の定理ともいいますけど。 あれって立体にも使えるんですよ。 たとえば格子状のホテル団地があったとして 右に3番目の棟を奥に4個進んで、5回階段を登るっちゅうのを直線距離に直すとき √(9+16+25)になるんす。 相変わらず2乗なんですよ 3次元になっても2乗のままなんです これが実は4次元時空にもやや適応できまして 4次元時空中の距離っちゅうのもピタゴラスの定理を使って √（左右^2＋前後^2＋上下^2－時間^2） になるんすわ。 おかしなのはこの「時間」の符合で、コイツだけマイナスなんす。 ところで楕円と双曲線の違いってのも、実は符号1つが違うだけなんですよ 楕円は (x/a)^2+(y/b)^2=1 双曲線は (x/a)^2-(y/b)^2=1 たったこれだけの違いが楕円と双曲線を分け隔ててるんですよ。 つまり、ミンコフスキー時空っていう作図方法は 何気なくテレビの対角線の長さを測りたいなーってメジャーを斜めにつかむのとさほど変わらない感覚で 時空を測ってることになるわけです たったそれだけのためにそういう図形を作らざるを得なかった ちゅうことでもありますな で、双曲線と楕円にそれくらいの相違点しかないっちゅうことは 共通点もがっぽり見えてくるわけで 見ていくと実は全部円錐の断面だった！ ってことで その中には円はもちろん、放物線もお仲間でしたっていう話ですよ 円錐を色んな角度から見るイメージは作れたんですが 断面を計算させる技術がなんかこうイマイチでしてね 仕方がないので離心率使って表現しましたよ。 放物線、楕円、円、双曲線、それと直線 これらを総称して円錐曲線と呼ぶんだそうです。 ほらね、また。相対論やってるってのに ニュートン力学で惑星の運動計算し始めたくなっちゃうでしょ？ そういうとこやぶへびだっていうんですよ！ r=L/(1+e・cosθ) ←この式の名前なんてーの？ x=r・cosθ y=r・sinθ 極座標使わなくても直交座標で惑星の運動はシミュレート可能なんすよ 今まで誤認してたんですが 1つの重力源による場での1つの質点(すごく軽い)の動きって 2体だけでちゃんと楕円になるんすね もう1つの焦点ってなんなの？バカなの？真空なの？って思ったんですが 特に何もないところに焦点があってもいいとは思いませんでしたよ おそろしかろぉー？ おそろしかやでぇ～  にほんブログ村
この列ベクトルの中の人のxとyを願いまして整いましたら、x×yを演算してみるんだ！一定値だろぉ～！？ x=cos(π/4)・coshθ+sin(π/4)・sinhθ =(coshθ+sinhθ)/√2 =((expθ+1/expθ)/2+(expθ-1/expθ)/2)/√2 =(expθ+1/expθ+expθ-1/expθ)/2√2 =expθ/√2 y=-sin(π/4)・coshθ+cos(π/4)・sinhθ =(-coshθ+sinhθ)/√2 =((-expθ-1/expθ)/2+(expθ-1/expθ)/2)/√2 =(-expθ-1/expθ+expθ-1/expθ)/2√2 =-1/exp(θ)/√(2) xy=(expθ/√(2))*(-1)/expθ/√(2) =-1/2 ハイパボリックだぜぇ～  にほんブログ村
チェレンコフ的な意味で。
グルーオンは色荷を持ちながら質量を持たないために グルーオンがグルーオンを放出するなんていう複雑な現象やクォークの閉じ込めなんてのが起きるんだと勝手に解釈しているんだけど じゃあ、質量を持つウィークボソンの担う弱い相互作用に影響されてる、ごくごく軽いニュートリノがウィークボソンより速く移動して媒介粒子を追い越したら、衝撃波的な意味で何かまずいことがあるのかないのか、あるいはただ現象が複雑になるだけなのか いやでも弱い相互作用ってそんなに複雑な現象だったっけ？ そもそもニュートリノに質量があってもなくてもいい(光速でも光速未満でもいい)って考えられてたのが解せなかったわけでー･･･ そう、それが解せなかったんだよ。忘れてた。 鳥の人は飛行機雲出すのに、鳥自身は出さない 素粒子ですら出すのになんで･･･なんでだよ！  にほんブログ村
z=za+i*zbを変数にした5次式多項式f(z) f(z)=∑cn*z^n=c5*z^5+c4*z^4+c3*z^3+c2*z^2+c1*z^1+c0*z^0 (cn=can+i*cbn) の絶対値の2乗|f(z)|^2=0になるz(ゼロ点)を探せばいいわけですから 少なくとも数値解析においては統一的な解き方（マニュアル）は存在するわけですよ。 ただ、数値解析で汎用であっても解析的に汎用でなければほとんど意味がないわけですよね たとえば係数cnがどんな組み合わせだとzが実数になるかとか(エルミート行列の行列式使えば答えは出ますが) あるいはどんな組み合わせのcnだとzが純虚数になるかとか、実部と虚部が比例するためにはどうしたらいいとか 数値解析だとどうしてもしらみつぶし感が否めないんですよねー 何ヶ月か前に、エクセルで追加したエンジニアリングのアドインが思いのほか面白くてですね ちょっとまず2次方程式でやってみようとしたらなんかまどマギに出てくるパンツとスカートの魔女みたいに禍々しい感じなったんですよｗ 係数3つの実部と虚部合わせて6つを、互いに素になるように周期1:2:3:5:7:11の比で動かしてみたんですけどね （0<=｜係数c｜<=1） 底面が変数zの実部と虚部で、高さ方向に多項式|f(z)|^2を取っているので 魔女の足のつま先あたりのzがゼロ点近傍、つまり方程式の解です。 complex関数に実部と虚部を与えると実部＋虚数単位*虚部の形に表現されるのでこれをzとすると 複素数のべき乗：zのn乗はimpower関数でimpower(z,n)、(nがどの範囲まで拡張可能かは未確認です) 複素数同士の掛け算：z1*z2*z3･･･はimproduct関数でimproduct(z1,z2,z3,･･･) 複素数同士の足し算：z1+z2+z3はimsum関数でimsum(z1,z2,z3,･･･) そして、複素数zの絶対値：|z|はimabs関数でimabs(z)という実数に戻るので、その2乗は普通の演算どおりに^2の記号を用いて出来ます。 ちなみに本題の5次多項式だと こんな感じに最大5本の足が生えます。この足の先がゼロ点界隈です。 足が融合して5本未満のダイコンだと重根っすね  にほんブログ村
昨日の日記で、音を媒介する粒子の速度が音速になったら？って話をしたけど
場を担う粒子が場の伝播速度になったらっていう話をしたのは確か初めてではなかった気がする。 チェレンコフ光は知ってのとおり、媒質中で遅くなった光速を電子などの有限質量粒子が追い越したときに発するいわばソニックブームの光波版のようなもんだ。 これに関して、電磁場を担う光自身は電荷を持っていないので光が光速で飛んでも何もしない。 電荷のある粒子が光速を追い越すからこういう現象が起きる･･･んだと思う。 じゃあ、グルーオンだったらどうなるか？ グルーオンには質量はないが、自らが担う場の色荷(カラー荷)がある 色電荷を持ちながら光速で走らざるを得ない場の粒子は一体どういう振る舞いを見せるのか。 コレに関して、以前は色荷なり弱荷(アイソスピン？)なりの相互作用の担い手である粒子は それ自身が担っている荷を持ちながら質量をゼロにして光速で飛ぶことが許されないべき として、グルーオンには事実上色荷が打ち消されるようにして存在しないのだと考えていた 弱い相互作用を担うウィークボソンそれ自身にはアイソスピンという弱荷があるが 質量もあるので光速では動けず、チェレンコフ的な問題は生じない。 こんな風に帳尻が合わせられている、とかそういう未知のルールがあるのではないかと考えていたんだ。 しかし、8種類のグルーオンのカラー荷を曲がりなりにも調べているうちに 僕の考えと反して「どうも色荷は確実にあるみたいだ」という結論を持たざるを得なくなった。 でもこれでいいんだ。 物理的に許容されているという見地からアプローチしなおしてみると、それまで見えてなかったことが見えてきた。 たぶん、実際にグルーオンはグルーオン自身を出しながら飛んでいる。 なんかの科学雑誌(日サイか乳豚)に別の見方からそう書かれていたことに自信を持った。 色荷を持つグルーオンは他の色荷のグルーオンを撒き散らしながら 複雑な過程を経て飛んでいるらしい。 なんだ･･･これはクォーク閉じ込めの原理のようなもんじゃないか。 だからグルーオンの媒介する強い力はそんなに広範囲に及ばないのか。 たぶんそういう解釈なんだと思う。 （それにしても核力が二重構造ってのはなんか面白いよね） そうするとなんだ･･･ 対応がつくかどうかわからんが 音波を担う粒子が音速を超えたらなんかを閉じ込めたりするんだろうか クーパー・ペアとか？ まあでも、音波を担う粒子をフォノンとする場合と、媒質を構成する微粒子とする場合とでは全然違っていそうなのでなんか違う気もする。 そういえば先日放送大学の「現代物理」を見ていて 超流動はどんなペアを作ってボーズ粒子を作っているんだろう？ とか思っていたら、元々フェルミ粒子じゃなかったんだったorz でも、中性子星の中身を考える場合とかは、フェルミ粒子のボーズ化の機構は必要じゃないのかな？ 単に「みんなアルファ粒子になーれ」でいいんだろうか。 そうだ思い出した具体的にはヘリウム3だ。 ヘリウム3同士にどんな機構で引力が働いてペアを作るかが疑問なんだよ。 それと、高圧にすればヘリウムもちゃんと固体になるんだね。安心した！ 乙子という性別  にほんブログ村
前回と一前回のおまけ。
振り子っつーとどうしてもおっぱいでたとえたくなるわけよ、HENTAI紳士だからな！（ｷﾘｯ 重力振り子とバネ振り子が合わさった感じの･･･ ってぐぐったんだけどバネ振り子はなんか思ってたのと違う！ 重力振り子にいたっては言葉そのものがないっぽいぞ！なんてこった！ 僕はコレを重力振り子→ コレをバネ振り子→ バネ振り子と重力振り子が合体したものをコレ↓ と認識していたんだ が、世間体には よく考えたら純粋なバネ振り子ってこうじゃなくて↓ こうだよな↓ ところで、my''=-ky-mgを解こうとして 非斉次(非同次)微分方程式の解き方をすっかり忘れていたことに気がついたorz 1階の非同次微分方程式だったらズルが出来たから使ってなかったんだよ･･･2Fだとこうはいかねえ だってy=exp(λt)っておくとこから始めにゃならんだもん (・・・まあ別に、mgで引かれて力がつりあったところをバネの自然長に定義しなおせばすむことなんだけどさ･･･) たとえばこう1Fで LdI/dt+RI=Vとかよ -(L/R)dI/dt=I-V/Rってやったら dI/(I-V/R)=-(R/L)dtの両辺積分すりゃ済むことじゃんか 左辺の分母にV/Rが入っていようがなかろうが関係ねんだよ。酷かろー？ 非同次を解く際は、 なんか2つの方法を習ったような気がしていて、1つは未定係数法だと思ったんだけど、もう1つは名前すら出てこない･･･ 未定係数法は、今までずっとラグランジュの未定乗数法と混同していたようだ ちなみに定数を「ていすう」と呼ぶヒト、「じょうすう」と読む人もいるからややこしい。 あ･･･もう1つは定数変化法だった。 こっちがラグランジュに関係してたのか･･･ もうどっちがどっちだかわからなくなってきた とりあえず解ければいい。解ければいいと思うよ･･･´∀｀ ぱいもん！  にほんブログ村
「貧ならば鈍」がtrueだったら 対偶：「反鈍ならば反貧」はtrueだが 逆：「鈍ならば貧」と 裏：「反貧ならば反鈍」はfalseの可能性をまだ秘めている。 逆がtrueだったら裏もtrueであり、この場合「貧」と「鈍」は必要十分条件の関係にあるが 逆がtrueと限らなかったら裏もtrueとは限らず(鈍すれば貧するとは限らない)、 この場合は貧は鈍のための十分条件、鈍は貧のための必要条件である。 また、貧と鈍の反粒子である反貧と反鈍の関係として 反鈍(鈍しない)は反貧(貧しない)のための十分条件で、 反貧(貧しない)は反鈍(鈍しない)のための必要条件であるともいえる。 (貧しなければ鈍しないとは限らない) 「「「貧→鈍（貧ならば鈍）」がtrue」 ならば→ その対偶である「「－鈍→－貧（鈍しないならば貧しない）」はtrue」 はtrue」 ナラバ関数は次のように定義することができる。 ※ここで、true=1、false=0としている。 必要十分条件のときはφ=1でψ=0となり そうでないときはφ=0、ψ=1となる。 一般的にはナラバ関数「→」(演算？)の右側が左側の必要条件で 左側は右側の十分条件であるため、<φ|と|ψ>は0と1の重ね合わせになっている。 なるほど、これはスリーステートバッファとソックリではないか！ ド・モルガンの定理  にほんブログ村
以下に「フックの法則」の運動方程式を示す。
ただし ふ：バネ定数 く：質量 xa：変移 xaの左肩のカッコ内は時間微分の階数を表すので (゛)と(゜)はそれぞれ変位xaの時間による2階微分(加速度)と0階微分(位置)である。 服を着ましょう  にほんブログ村
たとえば
x^π=1 のxを解いたら解xいくつあんのコレ？ π乗根みたいな無理数乗根っていきなり主値以外なくしちゃっていいのかなぁ？ なんかこうアクロバティックな定義の拡張方法とかないのかな？  にほんブログ村
そういえばうっかりすっかり忘れていたけれど
2重振り子のシミュレーションが行列と循環参照を使えばマクロなしでこうもあっさりと(曲がりなりにも)できるのだとしたら 運動方程式が万有引力だけの、惑星の運動なんかはもっと簡単にシミュレート可能なはず。 何より極座標にせずとも直交座標のままシミュレーションできるのではないだろうかってところがたぶん売りになるんじゃね？的な。 (そうだ。これを量子サイズにも当てはめて、ネルソンの確率力学を導入し･･･！ゆくゆくは量子ランダムウォークを目に見える形に出来たら面白いだろうなぁムネが広がりんぐな！) まあそりゃぁ最初はものっくそ簡単化した2体問題を扱うよ？ 太陽が動いちゃわないくらいの質量比でやってみりゃいいじゃん 作用反作用で太陽が動いたらめんどくさいし！ それでいて3次元だったら面白いだろうよ。 ちゃんと平面内を移動してる確認とか 楕円軌道の面積速度が一定になってる確認とか離心率とか 初期値のエネルギーに応じて双曲線になったり放物線になったり楕円になったり あーこれは手軽そうだなぁ といいつつ今日やらないっていうのが僕なんですけどね。 もともとカオスを惑星の3体問題ではなく2重振り子で先にシミュレーションしたのはわけがあったのです 2重振り子だったらグラフにしたときどっかとんでっちゃわないですから 岡部「蝶を使った気象操作兵器だったのだ･･･！」 Mr.ブラウン「だめだこいつ、早くなんとかしないと。綯･･･とバイト、あとは頼む。」 岡部「出たな！萌え萎えブラウンダーシスターズ！！･･･おい！何を内輪揉めしている！？標的は俺じゃないのかよ！？」 にほんブログ村
昨日の二重振り子の日記なんですけどね
どうして摩擦アリのシミュレーションをしたかったのか 自分が何を考えていたのか、寝る前になってようやくわかったような気がしました。 止まるまでが二重振り子 と、修学旅行のようなことを書きましたが ずっーと回しているうちに、心なしかエネルギー保存どころか加速しているような感じがしましてね それともう1点気になることがありまして。 パラメータを大きくすると割りとすぐに発散するんですよ。 割りとすぐにです。計算開始直後とも限らないのです。 そういえばこの計算は、x、yの直交座標というより極座標めいた感じで行っていたのでした。 ということは、メインになる変数は角度なのです。 radだったりrad/sだったり、rad/s2だったりしますが、メインは角度 ということは パラメータ次第では、何回も回転していると積もった塵が山となり、 角度の数値だけがどんどん膨れ上がる可能性があるということです。 これは直接的にはx、yの直交座標にしたときには表れません。 0度だろうが360度だろうが720度だろうがsinとcosの値は同じだからです。 また、エクセルで数値を処理する場合、ある程度以上大きな数は、問答無用で有効数字の底辺をカットされます。 たとえば２９２９２９２９２９２９２９２９２９と、２９が9回つながった数の下3桁は0に略されます。 これにより、ある程度以上大きな数は大雑把に処理されます。コンピュータによる誤差の伝播が始まるのです。 もしかして、発散と加速の原因は同じ、角度の非周期が原因なのではないか？ とりあえず、これからMOD(角度、2π)を実装してみることにしますね。 ＝＝＝＝＝＝＝＝ｷﾘﾄﾘ線＝＝＝＝＝＝＝＝ MOD関数の中身を知りたい方へ MOD(A,B)はAをBで割ったあまりです。 このMOD関数の中身はおそらく AをBで割った数の整数部分だけをround関数めいたもので取り出しcとおき A-B*cを結果として算出するといったものだと思います。 そのため、割る数が2πという無理数でもちゃんと動作します。 しかし注意点として Aがマイナスのときの処理には気をつける必要があります。 マイナスの数をroundするときに「小さいほう」を算出する必要があるのです。 絶対値の小さいほうではありません。数値的に小さいほうのことなのです。 たとえばプラスの2.4を切り捨てるときは普通に2と答えるでしょうが マイナス2.4を切り捨てる場合はマイナス2ではなくマイナス3にする必要があるのです。 if(c>=0,rounddown(c,0),roundup(c,0))という処理になるでしょう。 （ちなみに「２９２９２９２９２９２９２９２９２９を９で割ったあまりがゼロになる」を確かめようとすると、 しっかりとエラーを出してくれます） ＝＝＝＝＝＝＝＝ｷﾘﾄﾘ線＝＝＝＝＝＝＝＝ まあ、その辺はすでにMOD関数に実装されているようなので、 MOD関数を再現しようとでもしないかぎり、ｷﾘﾄﾘ線の内側は不必要な考慮なんですけどね コンピュータによるシミュレーションは カオスな現象であっても 初期値やパラメータを決めてしまえば再現が効くので便利ですね。(決定論) 実際の二重振り子だとこうはいきません。 バタフライエフェクトよ。 にほんブログ村
2013/10/31追記：循環参照と行列演算を使った二重振り子シミュレーションExcelファイルup
学生で言う夏休みあたりの時期に、放送大学で「集中講義期間」と称して、1日2回のペースで全15回の講義をぶっ続けで行う期間があったんですよ。 そのうちごく一部を録画しまして 僕はどちらかというと物理寄りの人間なので 録画した講義の中には「力と運動の物理」っちゅうやつがあったんですね。 最初は簡単な内容だったんですよ。 実際に大学で習った程度の内容だったんです。 ところが中盤以降から急に見知らぬ内容に突入しましてね ニュートンの運動方程式を拡張する必要があるとか、画面の先生が言い始めるんです。 それでラグランジュの運動方程式だとか、ハミルトンの運動方程式だとかの話になったんですけど 録画を見てた時点での僕は 「かえってややこしくしてるだけじゃん」とか「それやってなんになんのよ」 みたいな感想しか出てこなくてですね それはもう退屈な、物理にしては退屈な授業だったんです。 「束縛力や慣性力もひっくるめた～」 なんてよくわからなくてですね ラグランジアンやラグランジュのナンチャラっていうのは言葉としては聞いたことがありましたが それ以上の何たるかをまったく習っていませんで ハミルトニアンはかろうじて知ってましたよ。 量子力学に出てきますからね。 でもあれもわかりづらかったなぁ シュレディンガー方程式がHψ＝Eψってたったのこれだけであらわされた日には Hの中身が知りたいのになんで具体的な式かいてないんだよ！！！ って身悶えたもんでした。 ラグランジュ関係は人名と･･･数学？微分方程式近辺だったと思います それからラグランジュ方程式っていう名前と数式を「知っていた」だけで、 理解はしてなかったような･･･ ニュートンの運動方程式をラグランジュの方程式に拡張する際にやった 運動エネルギーとポテンシャルの差？ が、解せなくてですね なぜ同じ物理現象の力学を考えるのに和になったり差になったりするのかっていう感じですよ あとで何度も授業を見返して、じっくりやらねばって思ってます。 まあそんな状態で ふと、「二重振り子の問題」を解いてみようと思ったんですよ。 3体問題みたいに、「決定論的だけどもカオスになる」っていうのはわかってたんです。 ただ、「振り子を2つ連結するだけでカオスな動きを見せる」ように 運動方程式も、それ自体は作るのが簡単で、あとは解くのがめんどくさい 程度のことだと思ったんですね。 しかしいざ面と向かうと全然そんなことはなく 1つ目の振り子が2つ目の振り子に慣性で引っ張られるわ 張力はどうとか考えなきゃならんわで、立てることすら叶わぬ ニュートンの運動方程式の非力さを痛感しましたよ･･･ええ。 ただ、それでラグランジュ方程式のありがたみがわかったところでラグランジュ方程式を使いこなせる自信もなく とりあえずネットで解き方を見てみよう ってなったんですが 30過ぎの初老にあのごちゃごちゃした数式はちょっと目が疲れます＞＜ 合ってるかどうかもわかりませんし･･・ まあそんなわけで、途中過程を行列で解いているサイトを見つけたので どうせ連立微分方程式を解いたところで解析的な解が出るわけでもなし ここはもう最初から具体的に数値を入力して数値計算してしまえって感じですよ。 幸い、プログラムだとバグが全然見えなくてエクセルしか使えない僕でも 循環参照と行列計算という武器は持っているので 連立微分方程式は行列差分方程式にしてしまえば見える化がぐんと進んでミスも少なくすむわけです。 どこぞのサイトを頼りに なんか加速度2つの列ベクトルP（α1、α2）があって、D（（ａ，ｂ）、（ｃ、ｄ））って2行2列の行列とR(ｐ、ｑ)って列ベクトルとの関係 DP=R の関係があるそうなんですよ。 ただし a=(m1+m2)L1^2 b=m2L1L2cos(s1-s2) c=m2L1L2cos(s1-s2) d=m2L2^2 p=-m2L1L2w2^2sin(s1-s2)-(m1+m2)gL1sins1 q=m2L1L2w1^2sin(s1-s2)-m2gL2sins2 で、mとLはそれぞれ振り子の重りの質量と振り子の長さ 添え字はそれぞれ1つ目と2つ目の振り子のものって意味で g=9.8[m/s2]は重力加速度です。 例：m1は1つ目(根っこ)の振り子の質量、L2は2つ目（枝）の振り子の長さって感じです。 DP=RのPを求めたいんですから、両辺の左側からDの逆行列をかければPの中身である加速度α1とα2は求まります。 P=R/Dって感じなんですが、行列なんでP=invD*Rですね。 あ、加速度は角加速度です。単位はrad/s2 角速度[rad/s]をw1、w2とおいて 振り子の振れた角度(鉛直真下からの角度：rad)をs1、s2 として、○の時間微分を○’と記述すると s'=w w'=α になります。 この微分方程式の微分を差分にして ds/dt=Δs/Δt=(s(+)-s(-))/dt=w ってすると s(+)=s(-)+w・dt ってなるじゃないすか。 こう計算すると循環参照しますよね？ なので、 初期値をそれぞれs10、s20、w10、w20として s=if(初期化スイッチ=0,初期値,s自身+w・dt) とかって感じで式4本を連結させると s1=if(sw=0,s10,s1+w1*dt) s2=if(sw=0,s20,s2+w2*dt) w1=if(sw=0,w10,w1+α1*dt) w2=if(sw=0,w20,w2+α2*dt) αは行列計算から求めます。 みたいな感じで、あとは初期値とdtとスイッチswをテキトーに設定すれば 再計算のためにdelボタンでも押し続けると 逐次カオスな挙動不審な動きを再計算してくれるわけです。 グラフにしたければ 1つ目の振り子のx軸にx=L1sins1、y軸にy=L1coss1 2つ目の振り子のx軸にx=L1sins1+L2sins2、y軸にy=L1coss1＋L2coss2 とかってやって 振り子の質量と長さL1=L2=m1=m2=1、（dtは0.05とか適当に）って設定して 初期値にw2=1(枝だけつっつく)、ほかは全部0とかって設定してやればdel押しっぱなしで見ていて飽きないかもしれないカオス映像が画面に映りますよ。 ちなみに単純モデル化してるんで、振り子の棒同士の摩擦もないですし 棒の質量やら慣性モーメントも全然考慮してないです。 剛体とはいっても質量ゼロの剛体ですからね。 ただ、太さゼロの棒とか、大きさゼロの質点なんですが 摩擦はいつか考慮したいなぁと思うところだったりして。 やっぱ、二重振り子ってなんとなく、止まるまでが二重振り子のような気がしないでもないというか 動画として表現する際に、繰り返し表現あるいは初めと終わりがある表現のほうが好きって理由もあります。 このまま減衰がないとdel押し続ける限りいつまでも廻り続けちゃいますからねえ その辺もパラメータに加えたいかもなあとか思ったり。 ぐぐってもいまいち出ないんですよね、摩擦ありのときの二重振り子の方程式。 実体がないからなのか、ラグランジュ方程式を使っても立てるのが難しいのか あるいはあまり興味がないのか。 そういえば、二重振り子の極限として、m2=L2=0とかってして単振り子モードを表示しようとしたらなんかすぐに発散するんですよね。 速度(の1乗とか2乗)に比例する落下運動もなんかそんな感じでした。 空気抵抗のパラメータをゼロにすると発散するんですよ。 なんとかならないのかなぁこれ。 それはそれとして、摩擦ありの二重振り子の運動方程式 いつかラグランジュ方程式のやり方を理解して、シミュレーションしてみたいなぁ メガネをかけた巨大ロボ  にほんブログ村
おとといのメンガーのスポンジ、箱みたいな感じのを組み立てていったんですけど 中に穴ぼこがいくつもあるのでなんか数えづらそうだなーって思いましてね 「サイコロ（立方体）から棒(直方体)をｘ、ｙ、ｚ方向からそれぞれ１本ずつ引っこ抜いて 小さなサイコロを２回足して戻す」 ってなんかめんどくさそうじゃないですか なんかこう、タテヨコナナメ6方向から均等に棒＋αを引っこ抜ける方法はないかなーって思って 寝ながら考えてたんすよ。 ど真ん中のサイコロをどんな面で切れば6等分できるのかって。 底面の正方形の辺の長さを2とすると、高さは√2の四角錘を6つ作ればいいことがわかりました。 驚いたことに、立方体を6分割するのに切断面はたった 幸い、熟睡する前に体積がちゃんと立方体になることが確認できたんでよかったんですけど 朝目覚めてからなんか、実際に組み立ててみたくなりましてね や、特に意味はないんですけど 趣味が全部PC向きだと、目がー疲れるんですよ。 時々気晴らしに図画工作したくなったりもするんです。 先日、CGのほうを友達に見せたら折り紙みたいで嫌だって言われましてね それで思いついたんすよ リアルでコピペしたいときは折紙にすればいいんすよ！ いっせいにハサミ入れるわけです。 展開する際は三角形の高さを底辺2に対して√2ではなく√3にすればいいはずです。 直交座標（１，１，１）の極座標表現な感じですね。 なんっかイビツなんですよねー･･･ 四角錘の展開図は間違えてないと思うんですけどね むしろ僕の不器用さが影響していると信じたいです･･･ 500円ワゴンセールに伏線期待すんなってー  にほんブログ村
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プロフィール
ＨＮ：
量子きのこ
年齢：
43
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性別：
男性
誕生日：
1981/04/04
職業：
WinDOS.N臣T
趣味：
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介：
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます 例：H→7番目、XP→15(P)×26＋23(X)=413番目。 A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいｽﾞｺｰ
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